MO Z8-I-1 2018

Fero a Dávid sa denne stretávajú vo výťahu. Raz ráno zistili, že keď vynásobia svoje súčasné veky, dostanú 238. Keby to isté urobili za štyri roky, bol by tento súčin 378. Určte súčet súčasných vekov Fera a Dávida.

Správna odpoveď:

s =  31

Postup správneho riešenia:

a (sa)=238 (a+4) (sa+4) = 378  asa2 = 238 asa2+4a +4s4a+16= 378  asa2 = 238 asa2+4s+16= 378  238+4s+16=378  238+4 s+16=378  4s=124  s=4124=31  s=31

Rovnice majú nasledovné celočíselné riešenia:
a*(s-a)=238
(a+4)*(s-a+4) = 378


Počet nájdených riešení: 2
a1=14, s1=31
a2=17, s2=31

Vypočítané naším kalkulátorom Diofantovských problémov a celočíselných rovníc.



Našiel si chybu či nepresnosť? Kľudne nám ju napíš.



Zobrazujem 2 komentáre:
Žiak
Fero ma 14 rokov a David 17 (alebo naopak to je podstate jedno), 14*17=378. A tam sa pýtajú súčet ich rokov takže výsledok je 31 (14+17=31). Výsledok úlohy je 31

Dr Math
Nápoveda. Môže byť Ferdovi (či Dávidovi) 8, 15 alebo 47 rokov?

Možné riešenie. Číslo 238 je možné rozložiť na súčin dvoch čísel nasledujúcimi spôsobmi:
238 = 1 · 238 = 2 · 119 = 7 · 34 = 14 · 17.
Medzi týmito dvojicami sú súčasné veky Ferda a Davida. Po pripočítaní 4 ku každému z nich máme dostať súčin 378. preberieme všetky možnosti:
(1 + 4) · (238 + 4) = 1210,
(2 + 4) · (119 + 4) = 738,
(7 + 4) · (34 + 4) = 418,
(14 + 4) · (17 + 4) = 378.
Jediná vyhovujúce možnosť je tá posledná - jednému z chlapcov je 14 rokov, druhému 17.
Súčet súčasných vekov Ferdy a Davida je 31 rokov.

Poznámka. Alternatívne možno vyhovujúce dvojicu nájsť pomocou rozkladov 378, ktoré sú:
378 = 1 · 378 = 2 · 189 = 3 · 126 = 6 · 63 = 7 · 54 = 9 · 42 = 14 · 27 = 18 · 21.
Jediné dvojica v rozkladoch 238 a 378, v ktorých sú obaja činitelia druhého rozkladu o 4 väčšia ako u prvého, sú 14 a 17, resp. 18 a 21.
Extrémne hodnoty v uvedených rozkladoch možno vylúčiť ako nereálne. Ak riešiteľ s odkazom na túto skutočnosť nepreberie všetky možnosti, považujte jeho postup za správny.

Iné riešenie.

Ak súčasný vek Ferdy označíme f a súčasný vek Davida označíme d, potom informácie zo zadania znamenajú
f · d = 238 a (f + 4) · (d + 4) = 378.
Po roznásobení ľavej strany v druhej podmienke a dosadením prvej podmienky dostávame:
238 + 4f + 4d + 16 = 378,
4 (f + d) = 124,
f + d = 31.
Súčet súčasných vekov Ferdy a Davida je 31 rokov.





Tipy na súvisiace online kalkulačky
Hľadáte pomoc s výpočtom koreňov kvadratickej rovnice?
Máte lineárnu rovnicu alebo sústavu rovníc a hľadáte jej riešenie? Alebo máte kvadratickú rovnicu?
Riešite Diofantovské problémy a hľadáte kalkulačku diofantovských celočíselných rovníc?
Prajete si premeniť jednotku času, napr. hodiny na minúty?

Na vyriešenie tejto úlohy sú potrebné tieto znalosti z matematiky:


 
Odporúčame k tejto úlohe z matematiky si pozrieť toto výukové video: video1   video2   video3   video4

Súvisiace a podobné príklady: