C – I – 3 MO 2018
Nech a, b, c sú kladné reálne čísla, ktorých súčet je 3, a každé z nich je nanajvýš 2.
Dokážte, že platí nerovnosť:
a2 + b2 + c2 + 3abc < 9
Dokážte, že platí nerovnosť:
a2 + b2 + c2 + 3abc < 9
Správna odpoveď:
Zobrazujem 4 komentáre:
Dr Math
to je limittny pripad; a=b=c=2 pren plati ze lava strana sa rovna pravej. Pre pripady a+b+c=3 je to L>P
5 rokov 1 Like
Dr Math
Návodné úlohy ( to sme nevymysleli my, ale asi autor prikladu):
N1. Pre reálne čísla so súčtom 3 platí navyše a2 + b2 + c2 = 5. Aké hodnoty môže nadobúdať výraz ab + bc + ca? [Keďže (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2 (ab + bc + ca), je nutne ab + bc + ca = 2. Hodnota je dosiahnuteľná vďaka trojici (2 , 1, 0).]
N2. Nezáporné reálne čísla a, b, c sú všetky neprekračovať 1. Dokážte, že 3abc <= a + b + c. Kedy nastane rovnosť? [Upravíme na a (1 - bc) + b (1 - ac) + c (1 - ab)> = 0, výrazy v zátvorkách sú nezáporné. Rovnosť nastane práve keď buď a = b = c = 0, alebo a = b = c = 1.]
D1. Dokážte, že pre reálne čísla a, b, c platí a2 + b2 + c2> = ab + bc + ca. Kedy nastane rovnosť? [Nerovnosť je ekvivalentná s (a - b)2 + (b - c)2 + (c - a)2 = 0, ktorá iste platí. Rovnosť nastane jedine v prípade a = b = c.]
D2. Reálne čísla a, b, c majú súčet 3. Dokážte, že 3 = ab + bc + ca. Kedy nastane rovnosť? [Plynie z rovnosti 9 = (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2 (ab + bc + ca) a z predošlej úlohy. Rovnosť nastane jedine v prípade a = b = c = 1.]
D3. Dokážte, že pre ľubovoľné reálne čísla x, y, z platí nerovnosť x2 + 5y2 + 4z2 = 4y (x + z), a zistite, kedy nastane rovnosť. [Anulujte pravú stranu danej nerovnosti a upravte ju následne do tvaru (x2 - 4xy + 4y2) + (y2 - 4yz + 4z2) = 0, kde na ľavej strane je nezáporný súčet (x - 2y)2 + (y - 2z)2. Rovnosť tu nastane práve vtedy, keď platí (x, y, z) = (4c, 2c, c), kde c je ľubovoľné reálne číslo.]
D4. Nech a, b, c sú dĺžky strán trojuholníka. Dokážte, že platí nerovnosť 3a2 + 2BC> 2ab + 2AC. [Danú nerovnosť upravte na tvar a 2 - (b-c)2 + (a-b)2 + (a-c)2> 0 a rozdiel prvých dvoch druhých mocnín nahraďte príslušným súčinom.]
N1. Pre reálne čísla so súčtom 3 platí navyše a2 + b2 + c2 = 5. Aké hodnoty môže nadobúdať výraz ab + bc + ca? [Keďže (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2 (ab + bc + ca), je nutne ab + bc + ca = 2. Hodnota je dosiahnuteľná vďaka trojici (2 , 1, 0).]
N2. Nezáporné reálne čísla a, b, c sú všetky neprekračovať 1. Dokážte, že 3abc <= a + b + c. Kedy nastane rovnosť? [Upravíme na a (1 - bc) + b (1 - ac) + c (1 - ab)> = 0, výrazy v zátvorkách sú nezáporné. Rovnosť nastane práve keď buď a = b = c = 0, alebo a = b = c = 1.]
D1. Dokážte, že pre reálne čísla a, b, c platí a2 + b2 + c2> = ab + bc + ca. Kedy nastane rovnosť? [Nerovnosť je ekvivalentná s (a - b)2 + (b - c)2 + (c - a)2 = 0, ktorá iste platí. Rovnosť nastane jedine v prípade a = b = c.]
D2. Reálne čísla a, b, c majú súčet 3. Dokážte, že 3 = ab + bc + ca. Kedy nastane rovnosť? [Plynie z rovnosti 9 = (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2 (ab + bc + ca) a z predošlej úlohy. Rovnosť nastane jedine v prípade a = b = c = 1.]
D3. Dokážte, že pre ľubovoľné reálne čísla x, y, z platí nerovnosť x2 + 5y2 + 4z2 = 4y (x + z), a zistite, kedy nastane rovnosť. [Anulujte pravú stranu danej nerovnosti a upravte ju následne do tvaru (x2 - 4xy + 4y2) + (y2 - 4yz + 4z2) = 0, kde na ľavej strane je nezáporný súčet (x - 2y)2 + (y - 2z)2. Rovnosť tu nastane práve vtedy, keď platí (x, y, z) = (4c, 2c, c), kde c je ľubovoľné reálne číslo.]
D4. Nech a, b, c sú dĺžky strán trojuholníka. Dokážte, že platí nerovnosť 3a2 + 2BC> 2ab + 2AC. [Danú nerovnosť upravte na tvar a 2 - (b-c)2 + (a-b)2 + (a-c)2> 0 a rozdiel prvých dvoch druhých mocnín nahraďte príslušným súčinom.]
5 rokov 1 Like
Na vyriešenie tejto úlohy sú potrebné tieto znalosti z matematiky:
Súvisiace a podobné príklady:
- Žiaci 22
Žiaci maturitného ročníka na OA v Banskej Bystrici mali z písomky zo slovenského jazyka nasledujúce známky: 2, 2, 3, 3, 1, 4, 4, 2, 3, 5, 3, 3, 3, 4, 2, 4, 1, 1,2,3,4,5,1, 3, 3, 2, 2, 3, 2, 1. Vytvorte tabuľku rozdelenia početnosti, určte čo je štatistick - Koľkými 18
Koľkými možnými spôsobmi môžeme do chladničky vedľa seba uložiť tri malinovky, štyri minerálky a dva džúsy? - Päť hostí
Koľkými spôsobmi môžeme usadiť za stôl päť hostí, z ktorých dvaja sú manželia a chcú sedieť vedľa seba? - V debne
V debne je 10 súčiastok, 3 z nich sú chybné. Vyberme náhodne 4 súčiastky. Aká je pravdepodobnosť, že medzi nimi bude a) 0 chybných, b) práve jedna chybná súčiastka, c) práve dve chybné súčiastky, d) práve 4 chybné súčiastky? - Dynamika - hm. bodu
Teleso hmotnosti 500 kg je dvíhané rovnomerne zrýchleným priamočiarym pohybom pomocou lana. Určte zrýchlenie, pri ktorom sa lano pretrhne, ak vydrží zaťaženie 15 000 N. - Zrýchlenie 9
Zrýchlenie hmotného bodu pri jeho priamočiarom pohybe rovnomerne klesá zo začiatočnej hodnoty a0 = 10 m/s² v čase t0 = 0 na nulovú hodnotu počas 20 s. Aká je rýchlosť hmotného bodu v čase t1 = 20 s a akú dráhu za ten čas hmotný bod prešiel, keď v čase t0 - Nesporte peniaze
Študent si uložil v sporiteľni 500€ na 2,5%-ný úrok. Za aký čas (v rokoch) získa v úrokoch toľko peňazí, koľko vložil? - Megajouly
Lietadlo o hmotnosti 100 ton letí vo výške 11km rýchlosťou 850km/h. Aká je jeho kinetická, potencionálna a celková mechanická energia? - Klince
Jazdec sa rozhodol kúpiť si dobrého jazdeckého koňa, ktorého cena bola 10 000 €. Predávajúci mu povedal: “Koňa ti dám zadarmo. Zaplať mi len za klince, ktorými sú pripevnené podkovy. Za prvý klinec v podkove mi zaplať 1 cent, za druhý 2 centy, za tretí 4 - Tetiva - uhol
Je daná kružnica k so stredom v bode S a polomerom 6 cm. Vypočítaj veľkosť stredového uhla, ktorý patí tetive dlhej 10 cm. - Zamestnanci 4
V sklade pracuje 21 zamestnancov - robotníkov a administratívnych pracovníkov. Pri úprave miezd znížili dennú odmenu každého administratívneho pracovníka o 3 € a dennú odmenu každého robotníka zvýšili o 2 €, takže celková denná mzda vzrástla o 17 €. Vypoč - Priemer a variačný koeficient CV
Pre skupinu 100 študentov sa zistilo, že priemer a variačný koeficient ich známok boli 60 a 25, neskôr sa zistilo, že skóre 45 a 70 bolo nesprávne zadané ako 40 a 27. Nájdite korigovaný priemer a variačný koeficient - Bod od roviny
Vypočítaj vzdialenosť bodu A[ 4; 2; -3 ] od roviny : 2x - 2y + z + 5 = 0 - Obsah 44
Obsah pravouhlému trojuholníka ABC je 346 cm² a uhol pri vrchole A je 64°. Vypočítajte dĺžky odvesien a, b. - Trojuholníku 83150
V trojuholníku ABC poznáte pomer dĺžok strán a:b:c=3:4:6. Vypočítajte veľkosti uhlov trojuholníka ABC. - Na mobile
PIN na mobile má 4 znaky. Aká je pravdepodobnosť, že PIN obsahuje číslo 7 a končí číslom 5? - Opití vodiči
40 % vodičov jazdiacich medzi 23:00 a 5:00 sú opití vodiči. Na náhodnej vzorke 20 vodičov jazdiacich medzi 23:00 a 5:00 nájdite pravdepodobnosť, že: A) Presne 12 bude opitých vodičov B) Najmenej 7 bude opitých vodičov C) Najviac 5 bude opitých vodičov