C – I – 3 MO 2018
Nech a, b, c sú kladné reálne čísla, ktorých súčet je 3, a každé z nich je nanajvýš 2.
Dokážte, že platí nerovnosť:
a2 + b2 + c2 + 3abc < 9
Dokážte, že platí nerovnosť:
a2 + b2 + c2 + 3abc < 9
Správna odpoveď:
Zobrazujem 4 komentáre:
Dr Math
to je limittny pripad; a=b=c=2 pren plati ze lava strana sa rovna pravej. Pre pripady a+b+c=3 je to L>P
5 rokov 1 Like
Dr Math
Návodné úlohy ( to sme nevymysleli my, ale asi autor prikladu):
N1. Pre reálne čísla so súčtom 3 platí navyše a2 + b2 + c2 = 5. Aké hodnoty môže nadobúdať výraz ab + bc + ca? [Keďže (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2 (ab + bc + ca), je nutne ab + bc + ca = 2. Hodnota je dosiahnuteľná vďaka trojici (2 , 1, 0).]
N2. Nezáporné reálne čísla a, b, c sú všetky neprekračovať 1. Dokážte, že 3abc <= a + b + c. Kedy nastane rovnosť? [Upravíme na a (1 - bc) + b (1 - ac) + c (1 - ab)> = 0, výrazy v zátvorkách sú nezáporné. Rovnosť nastane práve keď buď a = b = c = 0, alebo a = b = c = 1.]
D1. Dokážte, že pre reálne čísla a, b, c platí a2 + b2 + c2> = ab + bc + ca. Kedy nastane rovnosť? [Nerovnosť je ekvivalentná s (a - b)2 + (b - c)2 + (c - a)2 = 0, ktorá iste platí. Rovnosť nastane jedine v prípade a = b = c.]
D2. Reálne čísla a, b, c majú súčet 3. Dokážte, že 3 = ab + bc + ca. Kedy nastane rovnosť? [Plynie z rovnosti 9 = (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2 (ab + bc + ca) a z predošlej úlohy. Rovnosť nastane jedine v prípade a = b = c = 1.]
D3. Dokážte, že pre ľubovoľné reálne čísla x, y, z platí nerovnosť x2 + 5y2 + 4z2 = 4y (x + z), a zistite, kedy nastane rovnosť. [Anulujte pravú stranu danej nerovnosti a upravte ju následne do tvaru (x2 - 4xy + 4y2) + (y2 - 4yz + 4z2) = 0, kde na ľavej strane je nezáporný súčet (x - 2y)2 + (y - 2z)2. Rovnosť tu nastane práve vtedy, keď platí (x, y, z) = (4c, 2c, c), kde c je ľubovoľné reálne číslo.]
D4. Nech a, b, c sú dĺžky strán trojuholníka. Dokážte, že platí nerovnosť 3a2 + 2BC> 2ab + 2AC. [Danú nerovnosť upravte na tvar a 2 - (b-c)2 + (a-b)2 + (a-c)2> 0 a rozdiel prvých dvoch druhých mocnín nahraďte príslušným súčinom.]
N1. Pre reálne čísla so súčtom 3 platí navyše a2 + b2 + c2 = 5. Aké hodnoty môže nadobúdať výraz ab + bc + ca? [Keďže (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2 (ab + bc + ca), je nutne ab + bc + ca = 2. Hodnota je dosiahnuteľná vďaka trojici (2 , 1, 0).]
N2. Nezáporné reálne čísla a, b, c sú všetky neprekračovať 1. Dokážte, že 3abc <= a + b + c. Kedy nastane rovnosť? [Upravíme na a (1 - bc) + b (1 - ac) + c (1 - ab)> = 0, výrazy v zátvorkách sú nezáporné. Rovnosť nastane práve keď buď a = b = c = 0, alebo a = b = c = 1.]
D1. Dokážte, že pre reálne čísla a, b, c platí a2 + b2 + c2> = ab + bc + ca. Kedy nastane rovnosť? [Nerovnosť je ekvivalentná s (a - b)2 + (b - c)2 + (c - a)2 = 0, ktorá iste platí. Rovnosť nastane jedine v prípade a = b = c.]
D2. Reálne čísla a, b, c majú súčet 3. Dokážte, že 3 = ab + bc + ca. Kedy nastane rovnosť? [Plynie z rovnosti 9 = (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2 (ab + bc + ca) a z predošlej úlohy. Rovnosť nastane jedine v prípade a = b = c = 1.]
D3. Dokážte, že pre ľubovoľné reálne čísla x, y, z platí nerovnosť x2 + 5y2 + 4z2 = 4y (x + z), a zistite, kedy nastane rovnosť. [Anulujte pravú stranu danej nerovnosti a upravte ju následne do tvaru (x2 - 4xy + 4y2) + (y2 - 4yz + 4z2) = 0, kde na ľavej strane je nezáporný súčet (x - 2y)2 + (y - 2z)2. Rovnosť tu nastane práve vtedy, keď platí (x, y, z) = (4c, 2c, c), kde c je ľubovoľné reálne číslo.]
D4. Nech a, b, c sú dĺžky strán trojuholníka. Dokážte, že platí nerovnosť 3a2 + 2BC> 2ab + 2AC. [Danú nerovnosť upravte na tvar a 2 - (b-c)2 + (a-b)2 + (a-c)2> 0 a rozdiel prvých dvoch druhých mocnín nahraďte príslušným súčinom.]
5 rokov 1 Like
Na vyriešenie tejto úlohy sú potrebné tieto znalosti z matematiky:
Súvisiace a podobné príklady:
- Z8 MO 2021
V danej skupine čı́sel je jedno čı́slo rovné priemeru všetkých, najväčšie čı́slo je o 7 väčšie než priemer, najmenšie je o 7 menšie než priemer a väčšina čı́sel zo skupiny má podpriemernú hodnotu. Aký najmenšı́ počet čı́sel môž - MO Z7–I–3 2019
Roman má rád kúzla a matematiku. Naposledy čaroval s trojcifernými alebo štvorcifernými číslami takto: • z daného čísla vytvoril dve pomocné čísla tak, že ho rozdelil medzi ciframi na mieste stoviek a desiatok (napr. Z čísla 581 by dostal 5 a 81), • pomoc - Z6–I–1 MO 2018
Ivan a Mirka sa delili o hrušky v mise. Ivan si vždy berie dve hrušky a Mirka polovicu toho, čo v mise ostáva. Takto postupne odoberali Ivan, Mirka, Ivan, Mirka a nakoniec Ivan, ktorý vzal posledné dve hrušky. Určite, kto mal nakoniec viac hrušiek a o koľ - Z7-1-6 MO 2017
Vodník Chaluha nalieval hmlu do rozmanitých rôzne veľkých nádob ktoré si starostlivo zoradil na polici. Pri nalievaní postupoval postupne z jednej strany žiadnu nádobu nepreskakoval. Do každej nádoby sa vojde aspoň deciliter hmly. Keby nalieval hmlu sedem - Z9-I-6 MO 2017
Na priamke predstavujúcej číselnú os uvážte navzájom rôzne body zodpovedajúce číslam a, 2a, 3a + 1 vo všetkých možných poradiach. Pri každej možnosti rozhodnite, či je také usporiadanie možné. Ak áno, uveďte konkrétny príklad, ak nie, zdôvodnite prečo. - MO Z6 I-3 2017 fľaše
Jano mal 100 rovnakých zaváracích fliaš, z ktorých si staval trojboké pyramídy. Najvyššie poschodie pyramídy má vždy jednu fľašu, druhé poschodie zhora predstavuje rovnostranný trojuholník, ktorého strana pozostáva z dvoch fliaš, atď. Príklad konštrukcie - Z8-I-2 MO 2017
V ostrouhlom trojuholníku KLM má uhol KLM veľkosť 68°. Bod V je priesečníkom výšok a P je pätou výšky na stranu LM. Os uhla P V M je rovnobežná so stranou KM. Porovnajte veľkosti uhlov MKL a LMK. - MO Z8–I–3 - 2017 - Adelka
Adelka mala na papieri napísané dve čísla. Keď k nim pripísala ešte ich najväčší spoločný deliteľ a najmenší spoločný násobok, dostala štyri rôzne čísla menšie ako 100. S úžasom zistila, že keď vydelí najväčšie z týchto štyroch čísel najmenším, dostane na - Pastevci
Na lúke sa pasú kone, kravy a ovce, spolu ich je menej ako 200. Keby bolo kráv 45-krát viac, koní 60-krát viac a oviec 35-krát viac ako ich je teraz, ich počty by sa rovnali. Koľko sa spolu na lúke pasie koní, kráv a oviec? - Na číselnej osi 2
Zobraz na číselnej osi všetky reálne čísla, ktoré sú väčšie, alebo sa rovnajú dvom a zároveň sú menšie ako 5. - Traja 44
Traja chlapci Ivo, Vlado a Alan čítajú tú istú knihu, pričom si dal podmienku, že počas celého čítania budú každý deň čítať vždy rovnaký počet strán, až kým knihu nedočítajú do konca. Ivo z nej denne prečíta 18 strán, Vlado 24 strán a Alan 20 strán. Overt - Klince
Jazdec sa rozhodol kúpiť si dobrého jazdeckého koňa, ktorého cena bola 10 000 €. Predávajúci mu povedal: “Koňa ti dám zadarmo. Zaplať mi len za klince, ktorými sú pripevnené podkovy. Za prvý klinec v podkove mi zaplať 1 cent, za druhý 2 centy, za tretí 4 - Nádvorie 2
Nádvorie zámku má tvar kosoštvorca, ktorého jedna strana je dlhá 17,5 m a vzdialenosť protiľahlých strán je 12 m. Nádvorie chcú vydláždiť obdĺžnikovými dlaždicami. Strany dlaždice sú 40 cm a 20 cm, jedna dlaždica váži 0,6 kg. Vypočítaj, koľko dlaždíc treb - Dve družnice
Zostroj 2 kružnice tak aby ich stredy boli od seba vzdialene 5 cm a: a-nemali spoločný dotyk b- mali spoločný bod c-mali 2 spoločné body - Trojuholníkov 83111
Peťo zložil z navzájom zhodných trojuholníkov niekoľko rovinných útvarov. Obvody prvých troch sú postupne 8 cm, 11,4 cm a 14,7 cm. Určite obvod štvrtého útvaru - Opak riešenia
Ktoré číslo nie je riešením nasledujúcej nerovnice? 3 < 2 ⋅ (3x - 9) a) 6 b) 5 c) 4 d) 3 - Prítok mínus odtok
Nádrž sa prítokom naplní za 12 hodín. Odtokom vytečie za 9 hodín, Môže nádrž pretiecť, ak necháme súčasne otvorený prítok aj odtok?