C – I – 3 MO 2018
Nech a, b, c sú kladné reálne čísla, ktorých súčet je 3, a každé z nich je nanajvýš 2.
Dokážte, že platí nerovnosť:
a2 + b2 + c2 + 3abc < 9
Dokážte, že platí nerovnosť:
a2 + b2 + c2 + 3abc < 9
Správna odpoveď:
Zobrazujem 4 komentáre:
Dr Math
to je limittny pripad; a=b=c=2 pren plati ze lava strana sa rovna pravej. Pre pripady a+b+c=3 je to L>P
5 rokov 1 Like
Dr Math
Návodné úlohy ( to sme nevymysleli my, ale asi autor prikladu):
N1. Pre reálne čísla so súčtom 3 platí navyše a2 + b2 + c2 = 5. Aké hodnoty môže nadobúdať výraz ab + bc + ca? [Keďže (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2 (ab + bc + ca), je nutne ab + bc + ca = 2. Hodnota je dosiahnuteľná vďaka trojici (2 , 1, 0).]
N2. Nezáporné reálne čísla a, b, c sú všetky neprekračovať 1. Dokážte, že 3abc <= a + b + c. Kedy nastane rovnosť? [Upravíme na a (1 - bc) + b (1 - ac) + c (1 - ab)> = 0, výrazy v zátvorkách sú nezáporné. Rovnosť nastane práve keď buď a = b = c = 0, alebo a = b = c = 1.]
D1. Dokážte, že pre reálne čísla a, b, c platí a2 + b2 + c2> = ab + bc + ca. Kedy nastane rovnosť? [Nerovnosť je ekvivalentná s (a - b)2 + (b - c)2 + (c - a)2 = 0, ktorá iste platí. Rovnosť nastane jedine v prípade a = b = c.]
D2. Reálne čísla a, b, c majú súčet 3. Dokážte, že 3 = ab + bc + ca. Kedy nastane rovnosť? [Plynie z rovnosti 9 = (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2 (ab + bc + ca) a z predošlej úlohy. Rovnosť nastane jedine v prípade a = b = c = 1.]
D3. Dokážte, že pre ľubovoľné reálne čísla x, y, z platí nerovnosť x2 + 5y2 + 4z2 = 4y (x + z), a zistite, kedy nastane rovnosť. [Anulujte pravú stranu danej nerovnosti a upravte ju následne do tvaru (x2 - 4xy + 4y2) + (y2 - 4yz + 4z2) = 0, kde na ľavej strane je nezáporný súčet (x - 2y)2 + (y - 2z)2. Rovnosť tu nastane práve vtedy, keď platí (x, y, z) = (4c, 2c, c), kde c je ľubovoľné reálne číslo.]
D4. Nech a, b, c sú dĺžky strán trojuholníka. Dokážte, že platí nerovnosť 3a2 + 2BC> 2ab + 2AC. [Danú nerovnosť upravte na tvar a 2 - (b-c)2 + (a-b)2 + (a-c)2> 0 a rozdiel prvých dvoch druhých mocnín nahraďte príslušným súčinom.]
N1. Pre reálne čísla so súčtom 3 platí navyše a2 + b2 + c2 = 5. Aké hodnoty môže nadobúdať výraz ab + bc + ca? [Keďže (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2 (ab + bc + ca), je nutne ab + bc + ca = 2. Hodnota je dosiahnuteľná vďaka trojici (2 , 1, 0).]
N2. Nezáporné reálne čísla a, b, c sú všetky neprekračovať 1. Dokážte, že 3abc <= a + b + c. Kedy nastane rovnosť? [Upravíme na a (1 - bc) + b (1 - ac) + c (1 - ab)> = 0, výrazy v zátvorkách sú nezáporné. Rovnosť nastane práve keď buď a = b = c = 0, alebo a = b = c = 1.]
D1. Dokážte, že pre reálne čísla a, b, c platí a2 + b2 + c2> = ab + bc + ca. Kedy nastane rovnosť? [Nerovnosť je ekvivalentná s (a - b)2 + (b - c)2 + (c - a)2 = 0, ktorá iste platí. Rovnosť nastane jedine v prípade a = b = c.]
D2. Reálne čísla a, b, c majú súčet 3. Dokážte, že 3 = ab + bc + ca. Kedy nastane rovnosť? [Plynie z rovnosti 9 = (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2 (ab + bc + ca) a z predošlej úlohy. Rovnosť nastane jedine v prípade a = b = c = 1.]
D3. Dokážte, že pre ľubovoľné reálne čísla x, y, z platí nerovnosť x2 + 5y2 + 4z2 = 4y (x + z), a zistite, kedy nastane rovnosť. [Anulujte pravú stranu danej nerovnosti a upravte ju následne do tvaru (x2 - 4xy + 4y2) + (y2 - 4yz + 4z2) = 0, kde na ľavej strane je nezáporný súčet (x - 2y)2 + (y - 2z)2. Rovnosť tu nastane práve vtedy, keď platí (x, y, z) = (4c, 2c, c), kde c je ľubovoľné reálne číslo.]
D4. Nech a, b, c sú dĺžky strán trojuholníka. Dokážte, že platí nerovnosť 3a2 + 2BC> 2ab + 2AC. [Danú nerovnosť upravte na tvar a 2 - (b-c)2 + (a-b)2 + (a-c)2> 0 a rozdiel prvých dvoch druhých mocnín nahraďte príslušným súčinom.]
5 rokov 1 Like
Na vyriešenie tejto úlohy sú potrebné tieto znalosti z matematiky:
Súvisiace a podobné príklady:
- Opísaná kružnica
Vypočítajte polomer kružnice opísaneho trojuholníku, ktorý má rozmery strán 8, 10 a 14cm. - Zložený pomer 2
Traja spolubývajúci sa rozhodli rozdeliť účet za elektrinu podľa času stráveného za PC. Čas Adama a Braňa je v pomere 1:4 a Braňa a Damiána je v pomere 2:5. V akom pomere je čas všetkých troch chlapcov strávený pri PC? Koľko zaplatí Adam, ak spolu platia - Objem 41
Objem pravidelného štvorbokého ihlanu je 72 cm³.Jeho výška sa rovná dĺžke podstavnej hrany. Vypočítaj dĺžku podstavnej a povrch ihlana. - Povrch 31
Povrch kvádra je S = 1714 cm / štvorcových/ Hrany majú dlžky 25 a 14 cm. Vypočítajte jeho objem.
- Kosodĺžnik výšky
Vypočítaj výšku kosodĺžnika ABCD na stranu BC, ak je AB=7cm, BC=5,5cm a výška prvej strany na AB=4,4cm - Tulipány 3
Na záhradný záhon vysadili 5 600 tulipánov. Na 1 m² sa zasadí priemerne 50 tulipánov. Akú približnú rozlohu má záhon? - Cukríky
Jana a Klára si rozdelili cukríky v pomere 15 : 18. Klára dostala 90 cukríkov. Koľko bolo všetkých cukríkov? - Koleso bicykla 5
Aký priemer v centimetroch ma koleso bicykla, ak sa na dráhe dlhej 4082 m otočí 2000-krát - Dve podstavy
Vypočítaj polomer podstavy valca, ak sa obsah jeho podstáv rovná 12,56 cm².
- Polievky
Predávate polievkové zmesi pre charitu. Za každú polievkovú zmes, ktorú predáte, dostane spoločnosť, ktorá polievku vyrába, x dolárov a vy dostanete zvyšnú sumu. Predávate 16 polievkových zmesí spolu za (16x+96) dolárov. Koľko peňazí dostanete za každú po - Výška, uhol a strana
Vypočítajte obsah trojuholníka ABC, v ktorom poznáte stranu c=5 cm, uhol pri vrchole A= 70 stupňov a pomer úsekov, ktoré vytína výška na stranu c je 1:3. - Bočná hrana
Aký je objem pravidelného štvorbokého ihlana, ak jeho podstavná hrana a = √18 cm a bočná hrana b = 5 cm? - Vypočítaj 447
Vypočítaj obvod štvorca, ktorého obsah je 25 dm² . - Rovnoramenný trojuholník -VU
Vypočítajte dĺžky strán v rovnoramennom trojuholníku, ak je dana výška (na základňu) Vc= 8,8cm a uhol pri zakladni alfa= 38°40`.
- Jarka 3
Jarka a Janka sa rozhodli vymaľovať si spoločnú izbu. Ak by ju maľovala Jarka sama, trvalo by jej to 4 hodiny. Janke by to trvalo 3 hodiny. Koľko by im trvalo vymaľovanie izby, ak by maľovali spolu? - Nový hráč
V družstve je 12 hráčov s priemernou výškou 185cm. Aká je výška nového hráča, ak sa po jeho príchode do družstva priemerná výška zvýšila o 1cm? - Tetiva - uhol
Je daná kružnica k so stredom v bode S a polomerom 6 cm. Vypočítaj veľkosť stredového uhla, ktorý patí tetive dlhej 10 cm.