C – I – 3 MO 2018

Nech a, b, c sú kladné reálne čísla, ktorých súčet je 3, a každé z nich je nanajvýš 2.

Dokážte, že platí nerovnosť:

a2 + b2 + c2 + 3abc < 9

Správna odpoveď:

d =  1

Postup správneho riešenia:

a+b+c=3 0<a<2 0<b<2 0<c<2 (a+b+c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ca (a+b+c)2 = 32 = 9  a2+b2+c2 = 92(ab+bc+ac) 9  2(ab+bc+ac) + 3abc < 9 2(ab+bc+ac)  < 3abc  2(ab+bc+ac) > 3abc a=b=c=2 x11=2 (2 2+2 2+2 2)=24 x12=3 2 2 2=24 x11=x12  a=b=c=3/2 x21=2 (1,5 1,5+1,5 1,5+1,5 1,5)=13,5 x22=3 1,5 1,5 1,5=10,125 x21>x22  d=1



Našiel si chybu či nepresnosť? Kľudne nám ju napíš.



Zobrazujem 4 komentáre:
Žiak
a=b=c=2 predsa neplatí, keďže a+b+c=3?

5 rokov  3 Likes
Dr Math
to je limittny pripad; a=b=c=2 pren plati ze lava strana sa rovna pravej.  Pre pripady a+b+c=3 je to L>P

5 rokov  1 Like
Dr Math
Návodné úlohy ( to sme nevymysleli my, ale asi autor prikladu):

N1. Pre reálne čísla so súčtom 3 platí navyše a2 + b2 + c2 = 5. Aké hodnoty môže nadobúdať výraz ab + bc + ca? [Keďže (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2 (ab + bc + ca), je nutne ab + bc + ca = 2. Hodnota je dosiahnuteľná vďaka trojici (2 , 1, 0).]

N2. Nezáporné reálne čísla a, b, c sú všetky neprekračovať 1. Dokážte, že 3abc <= a + b + c. Kedy nastane rovnosť? [Upravíme na a (1 - bc) + b (1 - ac) + c (1 - ab)> = 0, výrazy v zátvorkách sú nezáporné. Rovnosť nastane práve keď buď a = b = c = 0, alebo a = b = c = 1.]

D1. Dokážte, že pre reálne čísla a, b, c platí a2 + b2 + c2> = ab + bc + ca. Kedy nastane rovnosť? [Nerovnosť je ekvivalentná s (a - b)2 + (b - c)2 + (c - a)2 = 0, ktorá iste platí. Rovnosť nastane jedine v prípade a = b = c.]

D2. Reálne čísla a, b, c majú súčet 3. Dokážte, že 3 = ab + bc + ca. Kedy nastane rovnosť? [Plynie z rovnosti 9 = (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2 (ab + bc + ca) a z predošlej úlohy. Rovnosť nastane jedine v prípade a = b = c = 1.]

D3. Dokážte, že pre ľubovoľné reálne čísla x, y, z platí nerovnosť x2 + 5y2 + 4z2 = 4y (x + z), a zistite, kedy nastane rovnosť. [Anulujte pravú stranu danej nerovnosti a upravte ju následne do tvaru (x2 - 4xy + 4y2) + (y2 - 4yz + 4z2) = 0, kde na ľavej strane je nezáporný súčet (x - 2y)2 + (y - 2z)2. Rovnosť tu nastane práve vtedy, keď platí (x, y, z) = (4c, 2c, c), kde c je ľubovoľné reálne číslo.]

D4. Nech a, b, c sú dĺžky strán trojuholníka. Dokážte, že platí nerovnosť 3a2 + 2BC> 2ab + 2AC. [Danú nerovnosť upravte na tvar a 2 - (b-c)2 + (a-b)2 + (a-c)2> 0 a rozdiel prvých dvoch druhých mocnín nahraďte príslušným súčinom.]

5 rokov  1 Like
Žiak
Čo znamená že d=1?

5 rokov  3 Likes




Na vyriešenie tejto úlohy sú potrebné tieto znalosti z matematiky:


 
Odporúčame k tejto úlohe z matematiky si pozrieť toto výukové video: video1   video2

Súvisiace a podobné príklady: