MO B 2019 - uloha 2

Prirodzené číslo n má aspoň 73 dvojciferných deliteľov. Dokážte, že jedným z nich je číslo 60. Uveďte tiež príklad čísla n, ktoré má práve 73 dvojciferných deliteľov, vrátane náležitého zdôvodnenia.

Výsledok

n₁ = (Správna odpoveď je: 11 * 12 * 13 * 14 * 16 * 17 * 18 * 19 * 21 * 22 * 23 * 24 * 26 * 27 * 28 * 29 * 31 * 32 * 33 * 34 * 36 * 37 * 38 * 39 * 41 * 42 * 43 * 44 * 46 * 47 * 48 * 49 * 51 * 52 * 53 * 54 * 56 * 57 * 58 * 59 * 61 * 62 * 63 * 64 * 66 * 67 * 68 * 69 * 71 * 72 * 73 * 74 * 76 * 77 * 78 * 79 * 81 * 82 * 83 * 84 * 86 * 87 * 88 * 89 * 91 * 92 * 93 * 94 * 96 * 97 * 98 * 99 * 15)

Riešenie:

60 = 2^2 * 3 * 5

d₁ = 11 ....... 11 not div 5
d₂ = 12 ....... 12 not div 5 ; 12 div 3; 12 div 4
d₃ = 13 ....... 13 not div 5
d₄ = 14 ....... 14 not div 5
d₅ = 16 ....... 16 not div 5 ; 16 div 4
d₆ = 17 ....... 17 not div 5
d₇ = 18 ....... 18 not div 5 ; 18 div 3
d₈ = 19 ....... 19 not div 5
d₉ = 21 ....... 21 not div 5 ; 21 div 3
d₁₀ = 22 ....... 22 not div 5
d₁₁ = 23 ....... 23 not div 5
d₁₂ = 24 ....... 24 not div 5 ; 24 div 3; 24 div 4
d₁₃ = 26 ....... 26 not div 5
d₁₄ = 27 ....... 27 not div 5 ; 27 div 3
d₁₅ = 28 ....... 28 not div 5 ; 28 div 4
d₁₆ = 29 ....... 29 not div 5
d₁₇ = 31 ....... 31 not div 5
d₁₈ = 32 ....... 32 not div 5 ; 32 div 4
d₁₉ = 33 ....... 33 not div 5 ; 33 div 3
d₂₀ = 34 ....... 34 not div 5
d₂₁ = 36 ....... 36 not div 5 ; 36 div 3; 36 div 4
d₂₂ = 37 ....... 37 not div 5
d₂₃ = 38 ....... 38 not div 5
d₂₄ = 39 ....... 39 not div 5 ; 39 div 3
d₂₅ = 41 ....... 41 not div 5
d₂₆ = 42 ....... 42 not div 5 ; 42 div 3
d₂₇ = 43 ....... 43 not div 5
d₂₈ = 44 ....... 44 not div 5 ; 44 div 4
d₂₉ = 46 ....... 46 not div 5
d₃₀ = 47 ....... 47 not div 5
d₃₁ = 48 ....... 48 not div 5 ; 48 div 3; 48 div 4
d₃₂ = 49 ....... 49 not div 5
d₃₃ = 51 ....... 51 not div 5 ; 51 div 3
d₃₄ = 52 ....... 52 not div 5 ; 52 div 4
d₃₅ = 53 ....... 53 not div 5
d₃₆ = 54 ....... 54 not div 5 ; 54 div 3
d₃₇ = 56 ....... 56 not div 5 ; 56 div 4
d₃₈ = 57 ....... 57 not div 5 ; 57 div 3
d₃₉ = 58 ....... 58 not div 5
d₄₀ = 59 ....... 59 not div 5
d₄₁ = 61 ....... 61 not div 5
d₄₂ = 62 ....... 62 not div 5
d₄₃ = 63 ....... 63 not div 5 ; 63 div 3
d₄₄ = 64 ....... 64 not div 5 ; 64 div 4
d₄₅ = 66 ....... 66 not div 5 ; 66 div 3
d₄₆ = 67 ....... 67 not div 5
d₄₇ = 68 ....... 68 not div 5 ; 68 div 4
d₄₈ = 69 ....... 69 not div 5 ; 69 div 3
d₄₉ = 71 ....... 71 not div 5
d₅₀ = 72 ....... 72 not div 5 ; 72 div 3; 72 div 4
d₅₁ = 73 ....... 73 not div 5
d₅₂ = 74 ....... 74 not div 5
d₅₃ = 76 ....... 76 not div 5 ; 76 div 4
d₅₄ = 77 ....... 77 not div 5
d₅₅ = 78 ....... 78 not div 5 ; 78 div 3
d₅₆ = 79 ....... 79 not div 5
d₅₇ = 81 ....... 81 not div 5 ; 81 div 3
d₅₈ = 82 ....... 82 not div 5
d₅₉ = 83 ....... 83 not div 5
d₆₀ = 84 ....... 84 not div 5 ; 84 div 3; 84 div 4
d₆₁ = 86 ....... 86 not div 5
d₆₂ = 87 ....... 87 not div 5 ; 87 div 3
d₆₃ = 88 ....... 88 not div 5 ; 88 div 4
d₆₄ = 89 ....... 89 not div 5
d₆₅ = 91 ....... 91 not div 5
d₆₆ = 92 ....... 92 not div 5 ; 92 div 4
d₆₇ = 93 ....... 93 not div 5 ; 93 div 3
d₆₈ = 94 ....... 94 not div 5
d₆₉ = 96 ....... 96 not div 5 ; 96 div 3; 96 div 4
d₇₀ = 97 ....... 97 not div 5
d₇₁ = 98 ....... 98 not div 5
d₇₂ = 99 ....... 99 not div 5 ; 99 div 3

Skúsiť iný príklad

Zobrazujem 6 komentárov:

Dr Math

takto, 60 = 4*3*5

vypisem si dvojciferne cisla ktore nie su delitelne 5. Je ich 72. Podozrive cislo.  V mnozine tychto 72 cisel su zarucene cisla ktore su delitelne cislom 3 aj 4 (napr. cislo 36 ...). Teda ak k tymto 72 cislam pridam akekolvek dvojciferne cislo, je zarucene delitelne 5 (lebo som vynechal len delitelne piatimi). Ak by som vynasobil vsetkych 73 cisel, zarucene mam ze vysledok nasobenia bude delitelny 3,4 aj 5, a preto aj 60.

1 rok  Like

Dr Math

tych 72 zistim tak ze mame 100-10 = 90 ruznych dvojcifernych cisel. dvojcifernych cisel delitelnych 5 je 100/5 - 2 = 18. 90-18=72

1 rok  Like

Žiak

A ako nájdeme číslo s presne 73 deliteľmi, čo je podúloha?

1 rok  Like

Dr Math

cislo s presne 73 delitelmi najdem tak ze vynasobim prvych 73 prvocisel.,,, ak toto neviete, MO radsej nerieste... Samozrejme da sa to aj inak, napr. ked je v prvociselnom rozklade zlozene cislo 4 = 2², tak to zdvojnasobuje pocet vsetkych delitelov... To je potom komplikovanejsie.

1 rok  Like

Žiak

Zle som sa vyjadril. Práve 73 dvojciferných deliteľov - Podľa zadania. (Prvých 73 hocijakých je jasné, že prvočísla znásobiť.)

1 rok  Like

Žiak

Ako teda s tými práve 73 dvojcifernými deliteľmi?

1 rok  Like

Ďaľšie podobné príklady a úlohy:

• MO Z7–I–3 2019
  Roman má rád kúzla a matematiku. Naposledy čaroval s trojcifernými alebo štvorcifernými číslami takto: • z daného čísla vytvoril dve pomocné čísla tak, že ho rozdelil medzi ciframi na mieste stoviek a desiatok (napr. Z čísla 581 by dostal 5 a 81), • pomoc
• V Kocúrkove - Z8-I-6 2019 MO
  V Kocúrkove používajú mince iba s dvoma hodnotami, ktoré sú vyjadrené v kocúrkovských korunách kladnými celými číslami. Pomocou dostatočného množstva takých mincí je možné zaplatiť akúkoľvek celočíselnú sumu väčšiu ako 53 kocúrkovských korún, a to presne
• Olympiády
  Z 50 žiakov 44 riešilo aspoň jednu z olympiád - MO matematická olympiáda, BO biologická olympiáda. MO neriešilo 20 žiakov. Tých, čo riešili obidve olympiády, bola 1/3 z tých, čo riešili práve jednu olympiádu. Koľko žiakov riešilo len MO, len BO? Koľkí rie
• MO Z9-I-3 2018
  V našom meste sú tri kiná, ktorým sa hovorí podľa svetových strán. O ich otváracích hodinách je známe, že: • každý deň je otvorené aspoň jedno kino, • ak je otvorené južné kino, tak nie je otvorené severné kino, • nikdy nie je otvorené súčasne severné a v
• Matematická súťaž
  V matematickej súťaži riešili jej účastníci dve úlohy. Každý vyriešil aspoň jednu úlohu, pritom prvú úlohu vyriešilo 80 % účastníkov, druhú úlohu 50 %. Obidve úlohy vyriešilo 60 účastníkov. Koľko účastníkov mala súťaž?
• Komora
  V komore, kde sa rozbilo svetlo a všetko z nej musíme brať naslepo, máme ponožky štyroch rôznych farieb. Ak si chceme byť istí, že vytiahneme aspoň dve biele ponožky, musíme ich z komory priniesť 28. Aby sme mali takú istotu pre sivé ponožky, musíme ich p
• Na výtvarný
  Na výtvarný kružok prišlo 10 detí. Osem deti malovalo farbami a deviati tušom. Kolko deti malovalo farbami aj tušom sučastne?
• Na ihrisku 2
  Na ihrisku sú nakreslené tri rovnako veľké kruhy. Rozostavte 16 kolkov tak, aby v každom kruhu stálo 9 kolkov. Nájdite aspoň osem podstatne odlišných rozostavení, t. J. takých rozostavení, pri ktorých sa nerozlišujú kolky ani kruhy.
• Kubo a bača
  Kubo sa dohovoril s bačom, že sa mu bude starať o ovce. Bača Kubovi sľúbil, že po roku služby dostane dvadsať zlatých a k tomu jednu ovcu. Lenže Kubo dal výpoveď, práve keď uplynul siedmy mesiac služby. Aj tak ho Bača spravodlivo odmenil a zaplatil mu päť
• Pre skupinu
  Pre skupinu detí platí, že v každej trojici detí zo skupiny je chlapec menom Adam a v každej štvorici je dievča menom Beata. Koľko najviac detí môže byť v takejto skupine a aké sú v tom prípade ich mená?
• Odčítanie množín
  Množina B - A ma dvakrát menej prvkov, ako množina A - B a štyrikrát menej prvkov ako množina A ∩ B. Koľkokrát viac prvkov má množina A, ako množina B?
• Z matematiky
  Z matematiky alebo fyziky maturuje 78 študentov školy. Študentov, ktorí maturujú z matematiky a nematurujú z fyziky je trikrát viac ako tých, ktorí maturujú z fyziky a nematurujú z matematiky. Z matematiky maturuje 69 študentov. Koľko študentov maturuje z
• Dve množiny
  Pre dve množiny K, L platí: K má 30 prvkov, L má 27 prvkov a množina L - K má 22 prvkov. Koľko prvkov má množina K - L?
• Pre dve
  Pre dve neprázdne množiny A, B platí: A ∪ B má 16 prvkov, A ∩ B má 11 prvkov a množina A - B je prázdna. Koľko prvkov má množina B - A?
• Tri jazyky
  Študenti VŠ si pri zápise vyberali cudzí jazyk do 1. ročníka. Spomedzi 120 zapísaných študentov si 75 zvolilo angličtinu, 65 nemčinu a 40 aj angličtinu a aj nemčinu. Použitím Vennovho diagramu určte: - koľko zo zapísaných študentov si zvolilo iba angličti
• Kurzy jazyka
  Zo 60 zamestnancov firmy ich 28 chodí na kurz angličtiny, 17 na kurz nemčiny a 20 ľudí nechodí na žiadny z týchto kurzov. Koľko zamestnancov chodi na oba uvedené kurzy?
• Riešte 8
  Riešte kvadratickú nerovnicu: -2x² + 4x + 6 < 0