MO B 2019 - uloha 2
Prirodzené číslo n má aspoň 73 dvojciferných deliteľov. Dokážte, že jedným z nich je číslo 60. Uveďte tiež príklad čísla n, ktoré má práve 73 dvojciferných deliteľov, vrátane náležitého zdôvodnenia.
Správna odpoveď:
Zobrazujem 6 komentárov:
Dr Math
takto, 60 = 4*3*5
vypisem si dvojciferne cisla ktore nie su delitelne 5. Je ich 72. Podozrive cislo. V mnozine tychto 72 cisel su zarucene cisla ktore su delitelne cislom 3 aj 4 (napr. cislo 36 ...). Teda ak k tymto 72 cislam pridam akekolvek dvojciferne cislo, je zarucene delitelne 5 (lebo som vynechal len delitelne piatimi). Ak by som vynasobil vsetkych 73 cisel, zarucene mam ze vysledok nasobenia bude delitelny 3,4 aj 5, a preto aj 60.
vypisem si dvojciferne cisla ktore nie su delitelne 5. Je ich 72. Podozrive cislo. V mnozine tychto 72 cisel su zarucene cisla ktore su delitelne cislom 3 aj 4 (napr. cislo 36 ...). Teda ak k tymto 72 cislam pridam akekolvek dvojciferne cislo, je zarucene delitelne 5 (lebo som vynechal len delitelne piatimi). Ak by som vynasobil vsetkych 73 cisel, zarucene mam ze vysledok nasobenia bude delitelny 3,4 aj 5, a preto aj 60.
Dr Math
tych 72 zistim tak ze mame 100-10 = 90 ruznych dvojcifernych cisel. dvojcifernych cisel delitelnych 5 je 100/5 - 2 = 18. 90-18=72
Dr Math
cislo s presne 73 delitelmi najdem tak ze vynasobim prvych 73 prvocisel.,,, ak toto neviete, MO radsej nerieste... Samozrejme da sa to aj inak, napr. ked je v prvociselnom rozklade zlozene cislo 4 = 22, tak to zdvojnasobuje pocet vsetkych delitelov... To je potom komplikovanejsie.
Žiak
Zle som sa vyjadril. Práve 73 dvojciferných deliteľov - Podľa zadania. (Prvých 73 hocijakých je jasné, že prvočísla znásobiť.)
Na vyriešenie tejto úlohy sú potrebné tieto znalosti z matematiky:
Súvisiace a podobné príklady:
- Súčet veľa nepárnych
Určite súčet všetkých kladných nepárnych čísel menších ako 78 - Určí vsetky
Určí vsetky dvojciferné čísla, ktoré majú s číslom 76 najväčšieho spoločného delitela 19 - V čísle
V čísle 123 456 789 vynechaj: a) jednu cifru, aby vzniklo čo najväčšie číslo deliteľné 3 b) jednu cifru, aby vzniklo čo najväčšie číslo deliteľné 9 - Doplň 5
Doplň cifry tak, aby v zniklo symetrické číslo deliteľné 5 ku číslu 346. - Koľko 149
Koľko rôznych päťciferných čísel s rôznymi ciframi možno zostaviť z cifier 0, 2, 4, 6, 7, 8, 9? Koľko z nich je deliteľných 4? Koľko z nich je deliteľných 10? Koľko z nich je párnych? - Učitel 6
Učitel napísal na tabuľu číslo menšie ako 50 000. Prvý žiak povedal: Toto číslo je delitelné 2 Druhý žiak povedal: Toto číslo je delitelné 3 A tak ďalej, až po posledného, ktorý tvrdil, že je dělitelné 13. Dvaja za sebou klamali. Aké číslo učiteľ napísal - Koľko 134
Koľko je trojciferných čísel, ktoré majú ciferný súčet 6? Zapíš pomer počtu vytvorených párnych a nepárnych čísel a uprav ho na základný tvar. - Dvojciferné 68654
Vypíšte všetky zložené kladné dvojciferné čísla, ktorých najväčší spoločný deliteľ s číslom 51 je číslo 17. - Emil zabudol
Emil zabudol PIN k svojej platobnej karte. Vie, že je štvorciferný, začína sa 1, končí sa 2, cifry sa v ňom neopakujú a jeho ciferný súčet je 15. Koľko takých kódov existuje? Vypíš všetky možnosti. - Číslo 41
Číslo Beátinho domu je 2018. Z rovnakých číslic je zložené aj číslo Jurovho a Danovho domu. A) Aké môže byť číslo Jurovho domu, ak je deliteľné 4? Vypíš všetky možnosti. B) Aké môže byť číslo Danovho domu, ak je deliteľné 5? Vypíš všetky možnosti. - Koľko 129
Koľko je trojciferných čísel s ciferným súčtom 9, v ktorých sa žiadna cifra neopakuje? - Mám krabicu
Mám krabicu, v ktorej sú bonbóny z bielej, mliečnej a horkej čokolády, Pomer bonbónov bielych k mliečnymi je 3:4. Pomer bonbónov bielych k tmavým je 4:3. Najmenej koľko bonbónov je v krabici, ak sú splnené podmienky pomerov bonbónov. - Okolo 5
Okolo ohňa boli pripravené lavice. Keď si na ne sadnú turisti po siedmich, bude sedieť na poslednej lavici jeden turista sám. Keď si na všetky sadli po šiestich, musel jeden stáť. Koľko turistov bolo pri táboráku ak vieme, že ich bolo menej ako 100 a koľk - Koľko 113
Koľko je dvojciferných cisel, ktore po delení deviatimi dajú zvyšok sedem? - Kolko 111
Kolko párnych päťciferných prirodzených čísel s rôznymi číslicami možno vytvoriť z číslic 0 - 6? - Veľkonočný
Veľkonočný zajac má veľký a dobre chladený trezor. V trezore má uložených čokoládových zajačikov a veľkonočné vajíčka. Keďže pred sviatkami zažíva Veľkonočný zajac obrovský stres, veľmi dobre si premyslel 10-miestny číselný kód na otvorenie trezoru, aby h - Máme vytvoriť
Máme vytvoriť políčko v tvare obdĺžnika s rozlohou 288 m² (štvorcových), tak aby strany boli celé čísla. Aké sú všetky rozmery obdĺžnikového políčka, ktoré môžeme vytvoriť? Koľko je riešení.