MO Z9 2019 domáce kolo

V trojuholníku ABC leží bod P v tretine úsečky AB (bližšie bodu A), bod R je v tretine úsečky PB (bližšie bodu P) a bod Q leží na úsečke BC tak, že uhly PCB a RQB sú zhodné.

Určte pomer obsahov trojuholníkov ABC a PQC.

Výsledok

p =  9:2

Riešenie:

AB=a AP=13a PR=13 23a=29a RB=(11329)a=49a  S(ABC)=a h2  S(APC)=AP h2=13 a h2=13 S(ABC) S(PCB)=S(ABC)S(APC)=23 S(ABC)  PCB......RQB  h2=23 h S(PQB)=PB h22=23 a 23 h2=49 S(ABC)  S(PQC)=S(ABC)S(APC)S(PQB)=S(ABC)(11349) S(PQC)=k S(ABC)  k=11349=290.2222 p=S(ABC):S(PQC) p=1/k=1/0.2222=92=4.5=924.5=9:2|AB| = a \ \\ |AP| = \dfrac{ 1 }{ 3 } a \ \\ |PR| = \dfrac{ 1 }{ 3 } \cdot \ \dfrac{ 2 }{ 3 } a = \dfrac{ 2 }{ 9 } a \ \\ |RB| = (1 - \dfrac{ 1 }{ 3 } - \dfrac{ 2 }{ 9 } ) a = \dfrac{ 4 }{ 9 } a \ \\ \ \\ S(ABC) = \dfrac{ a \cdot \ h }{ 2 } \ \\ \ \\ S(APC) = \dfrac{ |AP| \cdot \ h }{ 2 } = \dfrac{ \dfrac{ 1 }{ 3 } \cdot \ a \cdot \ h }{ 2 } = \dfrac{ 1 }{ 3 } \cdot \ S(ABC) \ \\ S(PCB) = S(ABC) - S(APC) = \dfrac{ 2 }{ 3 } \cdot \ S(ABC) \ \\ \ \\ PCB ... ... RQB \ \\ \ \\ h_{ 2 } = \dfrac{ 2 }{ 3 } \cdot \ h \ \\ S(PQB) = \dfrac{ |PB| \cdot \ h_{ 2 } }{ 2 } = \dfrac{ \dfrac{ 2 }{ 3 } \cdot \ a \cdot \ \dfrac{ 2 }{ 3 } \cdot \ h }{ 2 } = \dfrac{ 4 }{ 9 } \cdot \ S(ABC) \ \\ \ \\ S(PQC) = S(ABC) - S(APC) - S(PQB) = S(ABC)( 1 - \dfrac{ 1 }{ 3 } - \dfrac{ 4 }{ 9 } ) \ \\ S(PQC) = k \cdot \ S(ABC) \ \\ \ \\ k = 1 - \dfrac{ 1 }{ 3 } - \dfrac{ 4 }{ 9 } = \dfrac{ 2 }{ 9 } \doteq 0.2222 \ \\ p = S(ABC) : S(PQC) \ \\ p = 1/k = 1/0.2222 = \dfrac{ 9 }{ 2 } = 4.5 = \dfrac{ 9 }{ 2 } ≐ 4.5 = 9:2







Napíšte nám komentár ku príkladu (úlohe) a jeho riešeniu (napríklad ak je stále niečo nejasné alebo máte iné riešenie, alebo príklad neviete vypočítať či riešenie je nesprávne...):

Zobrazujem 3 komentáre:
#
Žiak
pomer je 2:9 a nie naopak

#
Dr Math
no asi tazko, kedze ABC je vacsi trojuholnik ako PQC. PQC lezi v trojuholniku ABC a preto jeho obsah je mensi. preto pomer je 9:2, tj. S(ABC) :S(PQC) = 9:2

#
Žiak
Ako ste zistili velkost vysky h?

avatar









Pozrite aj našu kalkulačku pravouhlého trojuholníka. Pozrite aj našu trigonometrickú trojuholníkovu kalkulačku.

Ďaľšie podobné príklady a úlohy:

  1. Lichobežník MO-5-Z8
    lichobeznik_mo_z8 Lichobežník ABCD je úsečkou CE rozdelený na trojuholník a rovnobežník, viď obrázok. Bod F je stredom úsečky CE, priamka DF prechádza stredom úsečky BE a obsah trojuholníka CDE je 3 cm2. Určte obsah lichobežníka ABCD.
  2. Obdĺžnik
    diagonal V obdĺžniku so stranami 5 a 8 vyznačíme uhlopriečku. Aká je pravdepodobnosť, že náhodne zvolený bod vnútri obdĺžnika je bližšie k tejto uhlopriečke, ako k ľubovoľnej strane obdĺžnika?
  3. Kosoštvorec
    rhomus_circle Je daný kosoštvorec o dĺžky strany a = 15 cm. Dotykový bod vpísanej kružnice delí jeho stranu na úseky a1 = 10 cm a a2 = 5 cm. Určite polomer r tejto kružnice a dĺžky uhlopriečok kosoštvorca.
  4. Lichobežník MO
    right_trapezium Je daný pravouhlý lichobežník ABCD s pravým uhlom pri bode B, |AC| = 12, |CD| = 8, uhlopriečky sú na seba kolmé. Vypočítajte obvod a obsah takéhoto lichobežníka.
  5. Štvoruholník
    quadrilateral Ukážte, že štvoruholník s vrcholmi P1 (0,1), P2 (4,2) P3 (3,6) P4 (-5,4) má dva pravé trojuholníky.
  6. 30uholník
    30gon V pravidelnom 30 uholníku je polomer kružnice vpísanej 15cm. Zistite veľkosť hrany "a", polomer kružnice opísanej "R", obvod a obsah.
  7. Rovnobežník - uhlopriečky
    Parallelogram_1 Vypočítajte obsah rovnobežníka, ak sú veľkosti strán a=80, b=60 a veľkosť uhla zovretého uhlopriečkami je 60°.
  8. Odsek a oblúk
    odsek Vypočítaj plochu S odseku a dľžku kružnicového oblúka l . Výška odseku je 2 cm a uhol α=60°. Pomôcka: S=1/2 r2 . (β-sinβ)
  9. Štvrťkruh 4
    quarter_circle_1 Aký polomer má kruh vpisany do štvrťkruhu s polomerom 100 cm?
  10. Obsah kruhu
    described_circle2 Vypočítajte obsah kruhu, ktorý má rovnaký obvod ako je obvod obdĺžnika vpísanej kružnici s polomerom r 9 cm tak, že jeho strany sú v pomere 2 ku 7.
  11. Medzikružie
    medzikrucie2 Štvorcu o strane a = 1 je vpísaná a opísaná kružnica. Určte obsah medzikružia.
  12. Obsah obdĺžnika
    rectangle Vypočítajte obsah obdĺžnika s uhlopriečkou u = 12,5cm a so šírkou b = 3,5cm. Výpočet podľa Pytagorovej vety.
  13. Záhrada
    garden_1 Rozloha štvorcovej záhrady tvorí 2/3 rozlohy záhrady tvaru trojuholníka so stranami 176 m 110 m a 110 m. Koľko metrov pletiva potrebujem na oplotenie štvorcovej záhrady?
  14. Obdĺžnik
    rectangle_inscribed_circle Obdĺžnik je 45 cm dlhý a 24 cm široký. Urči polomer kružnice opísanej obdĺžniku.
  15. Trojuholník SUS
    triangle_iron Vypočítajte plochu a obvod trojuholníka, ak jeho dve strany sú dlhé 51 cm a 110 cm a uhol nimi zovretý je 130°.
  16. Kosoštvorec
    rhombus Vypočítajte obvod a obsah kosoštvorca, ktorého uhlopriečky sú dlhé 30 cm a 33 cm.
  17. Uhlopriečka štvorca
    square_d Vypočítajte dľžku uhlopriečky štvorca, ak jeho obvod je 136 cm.