V Kocúrkove - Z8-I-6 2019 MO
V Kocúrkove používajú mince iba s dvoma hodnotami, ktoré sú vyjadrené v kocúrkovských korunách kladnými celými číslami. Pomocou dostatočného množstva takých mincí je možné zaplatiť akúkoľvek celočíselnú sumu väčšiu ako 53 kocúrkovských korún, a to presne a bez vydávania. Sumu 53 kocúrkovských korún však bez vydávania zaplatiť nemožno. Zistite, ktoré hodnoty mohli byť na kocúrkovských minciach. Určte aspoň dve riešenia.
Správna odpoveď:
Zobrazujem 13 komentárov:
Markie
2, 55
3, 28
4, 19
7, 10
ale musim povedat, ze k tejto ulohe neviem urobit nejaky elegantny postup...
nemam rad ulohy, kde treba skusat...
3, 28
4, 19
7, 10
ale musim povedat, ze k tejto ulohe neviem urobit nejaky elegantny postup...
nemam rad ulohy, kde treba skusat...
4 roky 2 Likes
Franta
Frobeniovo číslo
Problém mincí (označovaný také jako problém frobenské mince nebo Frobeniův problém po matematikovi Ferdinandu Frobeniovi) je matematický problém, který hledá největší peněžní částku, kterou nelze získat pouze pomocí mincí určených nominálních hodnot. Například největší částka, kterou nelze získat pouze pomocí mincí 3 a 5 jednotek, je 7 jednotek.
Řešení tohoto problému pro danou sadu nominálních hodnot mincí se nazývá Frobeniovo číslo.
Frobeniovo číslo existuje, pokud sada nominálních hodnot mincí nemá společný dělitel větší než 1.
Pokud existují pouze dvě různé nominální hodnoty mincí x a y, potom pro Frobeniovo číslo existuje explicitní vzorec: xy − x − y.
Tento vzorec objevil James Joseph Sylvester v roce 1882.
Známe Frobeniovo číslo: 53, a máme určit x a y. Tedy:
xy – x – y = 53
xy – x – y + 1 = 53 + 1
x(y – 1) – (y – 1) = 54
(y – 1)(x – 1) = 54
Možné dvojice:
2 a 27, to je y = 3, x = 28
3 a 18, to je y = 4, x = 19
6 a 9, to je y = 7, x = 10
Problém mincí (označovaný také jako problém frobenské mince nebo Frobeniův problém po matematikovi Ferdinandu Frobeniovi) je matematický problém, který hledá největší peněžní částku, kterou nelze získat pouze pomocí mincí určených nominálních hodnot. Například největší částka, kterou nelze získat pouze pomocí mincí 3 a 5 jednotek, je 7 jednotek.
Řešení tohoto problému pro danou sadu nominálních hodnot mincí se nazývá Frobeniovo číslo.
Frobeniovo číslo existuje, pokud sada nominálních hodnot mincí nemá společný dělitel větší než 1.
Pokud existují pouze dvě různé nominální hodnoty mincí x a y, potom pro Frobeniovo číslo existuje explicitní vzorec: xy − x − y.
Tento vzorec objevil James Joseph Sylvester v roce 1882.
Známe Frobeniovo číslo: 53, a máme určit x a y. Tedy:
xy – x – y = 53
xy – x – y + 1 = 53 + 1
x(y – 1) – (y – 1) = 54
(y – 1)(x – 1) = 54
Možné dvojice:
2 a 27, to je y = 3, x = 28
3 a 18, to je y = 4, x = 19
6 a 9, to je y = 7, x = 10
Slniecko
V texte sa píše:" Pomocou dostatočného množstva takých mincí je možné zaplatiť akúkoľvek celočíselnú sumu väčšiu ako 53 kocúrkovských korún, a to presne a bez vydávania." Ako viete pomocou mincí napr. 3 a 28 zaplatiť sumu 54?
Matematik
3*9+28*1=55
... zasnem ze si ludia aspon elementarne overenie toho co tvrdia nevyskusaju na kalkulacke,,, alebo na internete:
https://www.hackmath.net/sk/kalkulacka/celociselne-diofantove-rovnice?input=3a%2B28b%3D55&submit=Vypo%C4%8D%C3%ADtaj
Je to ako pravo volit - ma ho kazdy. Ludia volia pocitmi, emociami, cize si zvolia zlych zastupcov... Pripadne takych ktory ich uplatia predvolebnou korupciou (zvysenie dochodkov, 13. dochodok...). Urcite by pravo volit malo byt nejak zmenene, napr. kazdy hlas by mal vahu rocnych dani ktore plati volič štátu. Kto platí málo, jeho hlas bude oslabený. Kto neplatí nič, bude mať nulový hlas.To bu potom do parlamentu neboli populisti vobec zvoleny.
... zasnem ze si ludia aspon elementarne overenie toho co tvrdia nevyskusaju na kalkulacke,,, alebo na internete:
https://www.hackmath.net/sk/kalkulacka/celociselne-diofantove-rovnice?input=3a%2B28b%3D55&submit=Vypo%C4%8D%C3%ADtaj
Je to ako pravo volit - ma ho kazdy. Ludia volia pocitmi, emociami, cize si zvolia zlych zastupcov... Pripadne takych ktory ich uplatia predvolebnou korupciou (zvysenie dochodkov, 13. dochodok...). Urcite by pravo volit malo byt nejak zmenene, napr. kazdy hlas by mal vahu rocnych dani ktore plati volič štátu. Kto platí málo, jeho hlas bude oslabený. Kto neplatí nič, bude mať nulový hlas.To bu potom do parlamentu neboli populisti vobec zvoleny.
Matematik
tak skusme: 54 = 55a+2b
a = 55b+2c
a>53
a<70
b>=0
c>=0
a1=54, b1=0, c1=27
a2=55, b2=1, c2=0
a3=56, b3=0, c3=28
a4=57, b4=1, c4=1
a5=58, b5=0, c5=29
a6=59, b6=1, c6=2
a7=60, b7=0, c7=30
a8=61, b8=1, c8=3
a9=62, b9=0, c9=31
a10=63, b10=1, c10=4
a11=64, b11=0, c11=32
a12=65, b12=1, c12=5
a13=66, b13=0, c13=33
a14=67, b14=1, c14=6
a15=68, b15=0, c15=34
a16=69, b16=1, c16=7
cize bingo... mozno jsme to zbytocne obmedzili ze obe mince musi byt mensi nez nebo rovne 53 ...
a = 55b+2c
a>53
a<70
b>=0
c>=0
a1=54, b1=0, c1=27
a2=55, b2=1, c2=0
a3=56, b3=0, c3=28
a4=57, b4=1, c4=1
a5=58, b5=0, c5=29
a6=59, b6=1, c6=2
a7=60, b7=0, c7=30
a8=61, b8=1, c8=3
a9=62, b9=0, c9=31
a10=63, b10=1, c10=4
a11=64, b11=0, c11=32
a12=65, b12=1, c12=5
a13=66, b13=0, c13=33
a14=67, b14=1, c14=6
a15=68, b15=0, c15=34
a16=69, b16=1, c16=7
cize bingo... mozno jsme to zbytocne obmedzili ze obe mince musi byt mensi nez nebo rovne 53 ...
Tipy na súvisiace online kalkulačky
Riešite Diofantovské problémy a hľadáte kalkulačku diofantovských celočíselných rovníc?
Máte lineárnu rovnicu alebo sústavu rovníc a hľadáte jej riešenie? Alebo máte kvadratickú rovnicu?
Chcete previesť delenie prirodzených čísel - zistiť podiel a zvyšok?
Máte lineárnu rovnicu alebo sústavu rovníc a hľadáte jej riešenie? Alebo máte kvadratickú rovnicu?
Chcete previesť delenie prirodzených čísel - zistiť podiel a zvyšok?
Na vyriešenie tejto úlohy sú potrebné tieto znalosti z matematiky:
- algebra
- množiny
- rovnica
- celočíselná rovnica
- prvočísla
- prienik množín
- aritmetika
- delenie
- základné funkcie
- úvaha
- čísla
- prirodzené čísla
Jednotky fyzikálnych veličín:
Téma:
Úroveň náročnosti úlohy:
Súvisiace a podobné príklady:
- MO Z9–I–3 - 2017
Roboti Róbert a Hubert skladajú a rozoberajú mlynčeky na kávu. Pritom každý z nich mlynček zloží štyrikrát rýchlejšie, ako ho sám rozoberie. Keď ráno prišli do dielne, niekoľko mlynčekov už tam bolo zložených. O 7:00 začal Hubert skladať a Róbert rozobera - Tri čísla 8
Tri čísla, ktoré tvoria aritmetickú postupnosť, majú súčet 30. Ak odčítame od prvého 5, od druhého 4 a tretie ponecháme, dostaneme geometrickú postupnosť. Urči členy AP aj GP. - Slávkine čísla
Slávka si napísala farebnými fixkami štyri rôzne prirodzené čísla: červené, modré, zelené a žlté. Keď červené číslo vydelí modrým, dostane ako neúplný podiel zelené číslo a žlté predstavuje zvyšok po tomto delení. Keď vydelí modré číslo zeleným, vyjde jej - V hoteli 2
V hoteli Holiday majú na každom poschodí rovnaký počet izieb. Izby sú číslované prirodzenými číslami postupne od prvého poschodia, žiadne číslo nie je vynechané a každá izba má iné číslo. Do hotela pricestovali traja turisti. Prvý sa ubytoval v izbe číslo - Určte 7
Určte zvyšné veličiny v konečnej geometrickej postupnosti, ak je dané: a1 = 5, an = 320, sn = 635, n=?, q=? - Konečná GP
Určte zvyšné veličiny v konečnej geometrickej postupnosti, ak je dané: a1=18, an=13122, sn=19674, n=?, q=? - Geometrická 11
Geometrická postupnosť so šiestimi členmi má súčet všetkých šiestich členov rovnajúci sa 63; súčet párnych členov má hodnotu 42. Určte tieto členy. - Ak odpočítame
Ak odpočítame od čísel 33, 45 a 63 to isté číslo, dostaneme tri za sebou idúce členy GP. Určte túto GP a vypočítajte jej piaty člen. - V rotačnom 2
V rotačnom valci je dané: povrch plášťa (bez podstáv) S= 96 cm² a objem V= 192 cm kubických. Výpočitajte polomer a výšku tohto valca. - V rotačnom
V rotačnom valci je dané: povrch S= 96 cm² a objem V= 192 cm kubických. Výpočitajte jeho polomer a výšku. - Stenové uhlopriečky
Ak sú stenové uhlopriečky kvádra x, y a z (diagonály), potom nájdite objem kvádra. Vyriešte pre x=1,3, y=1,2, z=1,1 - Dve tetivy 3
Vypočítajte dĺžku tetivy AB a k nej kolmej tetivy BC, ak tetiva AB je od stredu kružnice k vzdialená 4 cm a tetiva BC má vzdialenosť 8 cm. - MO Z9-I-6 2019
Kristína zvolila isté nepárne prirodzené číslo deliteľné tromi. Jakub s Dávidom potom skúmali trojuholníky, ktoré majú obvod v milimetroch rovný Kristínou zvolenému číslu a ktorých strany majú dĺžky v milimetroch vyjadrené navzájom rôznymi celými číslami. - Matik - KSM
V kuchárskej knihe od Mateja Matemakaka sa písalo: najväčší spoločný deliteľ gramáže múky a gramáže cukru je 15, najväčší spoločný deliteľ gramáže cukru a gramáže citrónovej kôry je 6, súčin gramáže cukru a gramáže citrónovej kôry je 1800, najmenší spoloč - GP tri členy
Druhý a tretí člen geometrickej postupnosti sú 24 a 12(c+1) v tomto poradí. Za predpokladu, že súčet prvých troch členov postupnosti je 76, určite hodnotu c. - Rovnica hyperboly
Napíšte rovnicu hyperboly so stredom S[0;0], ktorá prechádza bodmi: A[5;3] B[8; -10] - Aritmetická postupnosť
Dĺžky strán pravouhlého trojuholníka s dlhšou odvesnou 12 cm tvoria aritmetickú postupnosť. Obsah trojuholníka je?