V Kocúrkove - Z8-I-6 2019 MO

V Kocúrkove používajú mince iba s dvoma hodnotami, ktoré sú vyjadrené v kocúrkovských korunách kladnými celými číslami. Pomocou dostatočného množstva takých mincí je možné zaplatiť akúkoľvek celočíselnú sumu väčšiu ako 53 kocúrkovských korún, a to presne a bez vydávania. Sumu 53 kocúrkovských korún však bez vydávania zaplatiť nemožno. Zistite, ktoré hodnoty mohli byť na kocúrkovských minciach. Určte aspoň dve riešenia.

Výsledok

a₁ =  3
b₁ =  28
a₂ =  4
b₂ =  19
a₃ =  7
b₃ =  10

Riešenie:

$53 \ne ax + by \ \\ 53 < ax + by \ \\ \ \\ a_{ 1 } = 3$

$b_{ 1 } = 28 \ \\ t_{ 1 } = 18 \cdot \ a_{ 1 }+0 \cdot \ b_{ 1 } = 18 \cdot \ 3+0 \cdot \ 28 = 54 \ \\ t_{ 2 } = 9 \cdot \ a_{ 1 }+1 \cdot \ b_{ 1 } = 9 \cdot \ 3+1 \cdot \ 28 = 55 \ \\ t_{ 3 } = 0 \cdot \ a_{ 1 }+2 \cdot \ b_{ 1 } = 0 \cdot \ 3+2 \cdot \ 28 = 56 \ \\ ... \ \\ b_{ 1 } = 28$

$a_{ 2 } = 4$

$b_{ 2 } = 19 \ \\ t_{ 4 } = 4 \cdot \ a_{ 2 }+2 \cdot \ b_{ 2 } = 4 \cdot \ 4+2 \cdot \ 19 = 54 \ \\ t_{ 5 } = 9 \cdot \ a_{ 2 }+1 \cdot \ b_{ 2 } = 9 \cdot \ 4+1 \cdot \ 19 = 55 \ \\ t_{ 6 } = 14 \cdot \ a_{ 2 }+0 \cdot \ b_{ 2 } = 14 \cdot \ 4+0 \cdot \ 19 = 56 \ \\ t_{ 7 } = 0 \cdot \ a_{ 2 }+3 \cdot \ b_{ 2 } = 0 \cdot \ 4+3 \cdot \ 19 = 57 \ \\ ...$

$a_{ 3 } = 7$

$b_{ 3 } = 10$

Skúsiť iný príklad

Napíšte nám komentár ku príkladu (úlohe) a jeho riešeniu (napríklad ak je stále niečo nejasné alebo máte iné riešenie, alebo príklad neviete vypočítať či riešenie je nesprávne...):

Zobrazujem 4 komentáre:

Markie

2, 55

20 dní  Like

Markie

2, 55
3, 28
4, 19
7, 10

ale musim povedat, ze k tejto ulohe neviem urobit nejaky elegantny postup...
nemam rad ulohy, kde treba skusat...

20 dní  1 Like Like

Markie

a<b
a*b -b -a = 53

beriem spat ;-)

20 dní  Like

Žiak

ako to mám odvôvodniť?

1 deň  Like

Ďaľšie podobné príklady a úlohy:

1. MO - bikvadrát
   Nájdite najväčšie prirodzené číslo d, ktoré má tú vlastnosť, že pre ľubovoľné prirodzené číslo n je hodnota výrazu V(n)=n⁴+11n²−12 deliteľná číslom d.
2. Stenové uhlopriečky
   Ak sú stenové uhlopriečky kvádra x, y a z (diagonály), potom nájdite objem kvádra. Vyriešte pre x=1.8, y=1.1, z=1.45
3. Dve tetivy 3
   Vypočítajte dĺžku tetivy AB a k nej kolmej tetivy BC, ak tetiva AB je od stredu kružnice k vzdialená 4 cm a tetiva BC má vzdialenosť 8 cm.
4. Úsečky
   Úsečky dĺžok 67 cm a 3.1 dm máme rozdeliť na rovnaké diely tak, aby ich dĺžka v centimetroch bola vyjadrená celým číslom. Koľkými spôsobmi ich môžeme deliť?
5. Steny kvádra
   Vypočítajte objem kvádra, ak jeho rôzne steny majú obsahy 195cm², 135cm² a 117cm².
6. Stromčeky
   Sadár kúpil stromčeky za 960 KČ. Keby bol každý stromček o 12 KČ lacnejšie, bol by sadár za tie isté peniaze dostal o 4 stromčeky viac. Koľko stromčekov kúpil?
7. Vypočítajte 5
   Vypočítajte dĺžky strán a uhly v pravouhlom trojuholníku. S=210, o=70.
8. Kvocient geometrickej
   a1+a3=15 a1+a2+a3=21 Vypočítajte a1 a q(kvocient geometrickej postupnosti).
9. Tretiu s druhou
   Máme 2 čísla. Keby sme vynásobili tretiu odmocninu prvého čísla s druhou odmocninou druhého čísla, dostali by sme číslo 18.Určte tieto 2 čísla. Ak má úloha v množine reálnych čísel nekonečne veľa riešení, vypočítajte len celočíselné riešenie.
10. Ciferný súčet
    Ciferný súčet dvojciferného čísla je deväť. Keď čísla obrátime a vynásobíme pôvodným dvojciferným číslom, dostaneme číslo 2430. Aké je pôvodne dvojciferné číslo?
11. Aritmetická postupnosť
    Dĺžky strán pravouhlého trojuholníka s dlhšou odvesnou 12 cm tvoria aritmetickú postupnosť. Obsah trojuholníka je?
12. MO Z9–I–3 - 2017
    Roboti Róbert a Hubert skladajú a rozoberajú mlynčeky na kávu. Pritom každý z nich mlynček zloží štyrikrát rýchlejšie, ako ho sám rozoberie. Keď ráno prišli do dielne, niekoľko mlynčekov už tam bolo zložených. O 7:00 začal Hubert skladať a Róbert rozoberať
13. V hoteli 2
    V hoteli Holiday majú na každom poschodí rovnaký počet izieb. Izby sú číslované prirodzenými číslami postupne od prvého poschodia, žiadne číslo nie je vynechané a každá izba má iné číslo. Do hotela pricestovali traja turisti. Prvý sa ubytoval v izbe číslo.
14. Predaje
    Za 80 výrobkov dvojakej akosti sa utŕžilo celkom 175 Eur. Ak výrobok prvej kvality sa predával po n Eur za kus (n prirodzené číslo) a výrobok druhej akosti po dvoch Eur za kus, koľko kusov prvej kvality bolo predaných?
15. Hrnčeky
    Teta kúpila 6 rovnakých hrnčekov a jednu kanvicu na kávu. Spolu zaplatila 60€. Kanvica bola drahšia ako jeden hrnček, ale lacnejšia ako dva hrnčeky. Teta si pamätala, že všetky ceny boli v celých eurách. Koľko € stál jeden hrnček a koľko kanvica?
16. MO Z8-I-1 2018
    Fero a Dávid sa denne stretávajú vo výťahu. Raz ráno zistili, že keď vynásobia svoje súčasné veky, dostanú 238. Keby to isté urobili za štyri roky, bol by tento súčin 378. Určte súčet súčasných vekov Fera a Dávida.
17. Z7–I–5 MO 2018
    V záhradníctve Rose si jedna predajňa objednala celkom 120 ruží vo farbe červenej a žltej, druhá predajňa celkom 105 ruží vo farbe červenej a bielej a tretia predajňa celkom 45 ruží vo farbe žltej a bielej. Záhradníctvo zákazku splnilo, a to tak, že ruží r