MO Z9-I-6 2019

Kristína zvolila isté nepárne prirodzené číslo deliteľné tromi. Jakub s Dávidom potom skúmali trojuholníky, ktoré majú obvod v milimetroch rovný Kristínou zvolenému číslu a ktorých strany majú dĺžky v milimetroch vyjadrené navzájom rôznymi celými číslami.
Jakub našiel taký trojuholník, v ktorom najdlhšia zo strán má najväčšiu možnú dĺžku, a túto hodnotu zapísal na tabuľu. Dávid našiel taký trojuholník, v ktorom najkratšia zo strán má najväčšiu možnú dĺžku, a túto hodnotu tiež zapísal na tabuľu. Kristína obe dĺžky na tabuli správne sčítala a vyšlo jej 1 681 mm. Určte, ktoré číslo Kristína zvolila.

Výsledok

K =  2019

Riešenie:

K=3k;kN  K=a+b+c a<b<c 3k=a+b+c  max=(K1)/2 min=1  K=j1+j2+j3 j1<j2<j3  j1=1\orj1=2 j2=(K3)/2 j3=(K1)/2  1+(K3)/2+(K1)/2=K  K=d1+d2+d3 d1<d2<d3 d1=K/31 d2=K/3+0 d3=K/3+1  d1+j3=1681 K/31+(K1)/2=1681   3k/31+(3k1)/2=1681  15k=10095  k=673  K=3 k=3 673=2019  j1=2 mm j2=(K3)/2=(20193)/2=1008 mm j3=(K1)/2=(20191)/2=1009 mm o1=j1+j2+j3=2+1008+1009=2019 mm  d1=K/31=2019/31=672 mm d2=K/3=2019/3=673 mm d3=K/3+1=2019/3+1=674 mm o2=d1+d2+d3=672+673+674=2019 mm  o1=o2=K  x1=d1+j3=672+1009=1681  K=2019K = 3k; k \in N \ \\ \ \\ K = a+b+c \ \\ a < b < c \ \\ 3k = a+b+c \ \\ \ \\ max = (K-1)/2 \ \\ min = 1 \ \\ \ \\ K = j_{ 1 }+j_{ 2 }+j_{ 3 } \ \\ j_{ 1 } < j_{ 2 } < j_{ 3 } \ \\ \ \\ j_{ 1 } = 1 \or j_{ 1 } = 2 \ \\ j_{ 2 } = (K-3)/2 \ \\ j_{ 3 } = (K-1)/2 \ \\ \ \\ 1 + (K-3)/2+(K-1)/2 = K \ \\ \ \\ K = d_{ 1 }+d_{ 2 }+d_{ 3 } \ \\ d_{ 1 } < d_{ 2 } < d_{ 3 } \ \\ d_{ 1 } = K/3-1 \ \\ d_{ 2 } = K/3+0 \ \\ d_{ 3 } = K/3+1 \ \\ \ \\ d_{ 1 }+j_{ 3 } = 1681 \ \\ K/3-1 + (K-1)/2 = 1681 \ \\ \ \\ \ \\ 3k/3-1 + (3k-1)/2 = 1681 \ \\ \ \\ 15k = 10095 \ \\ \ \\ k = 673 \ \\ \ \\ K = 3 \cdot \ k = 3 \cdot \ 673 = 2019 \ \\ \ \\ j_{ 1 } = 2 \ mm \ \\ j_{ 2 } = (K-3)/2 = (2019-3)/2 = 1008 \ mm \ \\ j_{ 3 } = (K-1)/2 = (2019-1)/2 = 1009 \ mm \ \\ o_{ 1 } = j_{ 1 }+j_{ 2 }+j_{ 3 } = 2+1008+1009 = 2019 \ mm \ \\ \ \\ d_{ 1 } = K/3-1 = 2019/3-1 = 672 \ mm \ \\ d_{ 2 } = K/3 = 2019/3 = 673 \ mm \ \\ d_{ 3 } = K/3+1 = 2019/3+1 = 674 \ mm \ \\ o_{ 2 } = d_{ 1 }+d_{ 2 }+d_{ 3 } = 672+673+674 = 2019 \ mm \ \\ \ \\ o_{ 1 } = o_{ 2 } = K \ \\ \ \\ x_{ 1 } = d_{ 1 } + j_{ 3 } = 672 + 1009 = 1681 \ \\ \ \\ K = 2019







Napíšte nám komentár ku príkladu (úlohe) a jeho riešeniu (napríklad ak je stále niečo nejasné alebo máte iné riešenie, alebo príklad neviete vypočítať či riešenie je nesprávne...):

Zobrazujem 1 komentár:
#
Žiak
ako ste zistili k?

avatar









Máte lineárnu rovnicu alebo sústavu rovníc a hľadáte jej riešenie? Alebo máte kvadratickú rovnicu? Riešite Diofantovské problémy a hľadáte kalkulačku diofantovských celočíselných rovníc? Pozrite aj našu trigonometrickú trojuholníkovu kalkulačku.

Ďaľšie podobné príklady a úlohy:

  1. Úroky
    exp_growth2 Aká je celková suma investície po 8 rokoch pri 3% úroku pri štvrťročnom zloženom úrokovaní (sen v roku 2019)?
  2. Z8 – I – 1 MO 2019
    koso_konstrukce Zostrojte kosoštvorec ABCD tak, aby jeho uhlopriečka BD mala veľkosť 8 cm a vzdialenosť vrcholu B od priamky AD bola 5 cm. Určte všetky možnosti.
  3. Z8–I–5 MO 2019
    mo_z8_trojuhelniky Pre osem navzájom rôznych bodov ako na obrázku platí, že body C, D, E ležia na priamke rovnobežnej s priamkou AB, F je stredom úsečky AD, G je stredom úsečky AC a H je priesečníkom priamok AC a BE. Obsah trojuholníka BCG je 12 cm2 a obsah štvoruholníka DFH
  4. V triede 11
    dancers V triede je 20 chlapcov a 10 dievčat . Koľko roznych tanečnych párov možeme z nich vytvoriť?
  5. 6l 48%
    chemia 6l 48% liehu, koľko treba dopriať 52% alkoholu aby bol 50%
  6. Rovnobežne cyklista
    cyklo2 Pozorovateľ sedí v miestnosti 2 m od okna širokého 50 cm. Rovnobežne vo vzdialenosti 500 m vedie cesta. Akou veľkou priemernou rýchlosťou ide cyklista po tejto ceste, keď ho pozorovateľ vidí 15 s?
  7. Vrtuľa
    Tupolev_Tu-95 Vrtuľa lietadla sa otáča uhlovou rýchlosťou 200 rad/s. A) Akou veľkou rýchlosťou sa pohybujú body na konci vrtule ak ich vzdialenosť od osy je 1,5 m? B) Akú dráhu uletí lietadlo počas jednej otočky vrtule pri rýchlosti 540 km/h?
  8. Povrch valca
    valec_1 Vypočítajte povrch valca, pre ktorý platí: obsah plášta Spl = 20 cm2 a výška v = 3,5 cm
  9. Pomer uhlopriečok
    face_diagonals Dĺžky hrán kvádra sú v pomere 1 : 2 : 3. Budú v takom istom pomere aj dĺžky jeho stenových uhlopriečok? Kváder má rozmery 5 cm, 10 cm a 15 cm. Vypočítaj veľkosť stenových uhlopriečok tohto kvádra.
  10. Obdĺžniková postava
    kvadr_diagonal Vypočítaj objem kvádra, ktorého telesová uhlopriečka u sa rovná 6.1 cm a obdĺžniková postava má rozmery 3.2cm a 2.4cm
  11. Tri melóny
    melon Tri melóny vážia spolu 18 1/2 kg. Z toho prvý váži o 1 1/4 kg viac ako druhý a o 2 3/4 kg viac ako treti. Koľko vážia melóny v kilogramoch?
  12. V háji
    stromy V háji je 1200 stromov, z toho 55 percent listnatých, zvyšné ihličnaté. Vyrúbali 35 percent a-stromov, b-listnatých stromov, c-ihličnatých stromov. Koľko stromov má teraz tento háj?
  13. Do kopca
    12perctent Mám záhradu do kopca, navýšenie z 0 na 4,5 m pri dĺžke 25 m, koľko je to v % stúpanie?
  14. Eskalátor
    eskalator Vybehnem po eskalátore konštantnou rýchlosťou v smere pohybu schodov a zapíšem si počet schodov A, na ktoré sme stúpili. Následne sa otočíme a zbehnem po ňom rovnakou konštantnou rýchlosťou v protismere a zapíšem si počet schodov B, na ktoré som stúpil. Ak
  15. Prestávky
    skola_1 Vypočítaj koľko percent času v škole patrí prestávkam. Počítaj údaje za celý týždeň.
  16. Robotníci
    work Jeden robotník potrebuje na určitú prácu 40 hodín, druhý by ju vykonal za 30 hodín. Niekoľko hodín pracovali spoločne, potom bol druhý odvolaný a prvé dokončil sám prácu za 5 hodín. Koľko hodín pracovali spoločne a akú časť práce každý z nich vykonal?
  17. Rozkladací stôl
    stol_rozkladaci Rozkladací kuchynský stôl má v bežnej podobe tvar obdĺžnika s obsahom 168dm2 (strana a je dlhá 14 dm) . V prípade potreby sa môže zväčšiť vysunutím dvoch dosiek v tvare polkruhov (pri stranách b). O koľko percent sa takto zväčší plocha stola? Výsledok tre