MO Z9-I-6 2019

Kristína zvolila isté nepárne prirodzené číslo deliteľné tromi. Jakub s Dávidom potom skúmali trojuholníky, ktoré majú obvod v milimetroch rovný Kristínou zvolenému číslu a ktorých strany majú dĺžky v milimetroch vyjadrené navzájom rôznymi celými číslami.
Jakub našiel taký trojuholník, v ktorom najdlhšia zo strán má najväčšiu možnú dĺžku, a túto hodnotu zapísal na tabuľu. Dávid našiel taký trojuholník, v ktorom najkratšia zo strán má najväčšiu možnú dĺžku, a túto hodnotu tiež zapísal na tabuľu. Kristína obe dĺžky na tabuli správne sčítala a vyšlo jej 1 681 mm. Určte, ktoré číslo Kristína zvolila.

Výsledok

K =  2019

Riešenie:

K=3k;kN  K=a+b+c a<b<c 3k=a+b+c  max=(K1)/2 min=1  K=j1+j2+j3 j1<j2<j3  j1=1\orj1=2 j2=(K3)/2 j3=(K1)/2  1+(K3)/2+(K1)/2=K  K=d1+d2+d3 d1<d2<d3 d1=K/31 d2=K/3+0 d3=K/3+1  d1+j3=1681 K/31+(K1)/2=1681   3k/31+(3k1)/2=1681  15k=10095  k=673  K=3 k=3 673=2019  j1=2 mm j2=(K3)/2=(20193)/2=1008 mm j3=(K1)/2=(20191)/2=1009 mm o1=j1+j2+j3=2+1008+1009=2019 mm  d1=K/31=2019/31=672 mm d2=K/3=2019/3=673 mm d3=K/3+1=2019/3+1=674 mm o2=d1+d2+d3=672+673+674=2019 mm  o1=o2=K  x1=d1+j3=672+1009=1681  K=2019K = 3k; k \in N \ \\ \ \\ K = a+b+c \ \\ a < b < c \ \\ 3k = a+b+c \ \\ \ \\ max = (K-1)/2 \ \\ min = 1 \ \\ \ \\ K = j_{ 1 }+j_{ 2 }+j_{ 3 } \ \\ j_{ 1 } < j_{ 2 } < j_{ 3 } \ \\ \ \\ j_{ 1 } = 1 \or j_{ 1 } = 2 \ \\ j_{ 2 } = (K-3)/2 \ \\ j_{ 3 } = (K-1)/2 \ \\ \ \\ 1 + (K-3)/2+(K-1)/2 = K \ \\ \ \\ K = d_{ 1 }+d_{ 2 }+d_{ 3 } \ \\ d_{ 1 } < d_{ 2 } < d_{ 3 } \ \\ d_{ 1 } = K/3-1 \ \\ d_{ 2 } = K/3+0 \ \\ d_{ 3 } = K/3+1 \ \\ \ \\ d_{ 1 }+j_{ 3 } = 1681 \ \\ K/3-1 + (K-1)/2 = 1681 \ \\ \ \\ \ \\ 3k/3-1 + (3k-1)/2 = 1681 \ \\ \ \\ 15k = 10095 \ \\ \ \\ k = 673 \ \\ \ \\ K = 3 \cdot \ k = 3 \cdot \ 673 = 2019 \ \\ \ \\ j_{ 1 } = 2 \ mm \ \\ j_{ 2 } = (K-3)/2 = (2019-3)/2 = 1008 \ mm \ \\ j_{ 3 } = (K-1)/2 = (2019-1)/2 = 1009 \ mm \ \\ o_{ 1 } = j_{ 1 }+j_{ 2 }+j_{ 3 } = 2+1008+1009 = 2019 \ mm \ \\ \ \\ d_{ 1 } = K/3-1 = 2019/3-1 = 672 \ mm \ \\ d_{ 2 } = K/3 = 2019/3 = 673 \ mm \ \\ d_{ 3 } = K/3+1 = 2019/3+1 = 674 \ mm \ \\ o_{ 2 } = d_{ 1 }+d_{ 2 }+d_{ 3 } = 672+673+674 = 2019 \ mm \ \\ \ \\ o_{ 1 } = o_{ 2 } = K \ \\ \ \\ x_{ 1 } = d_{ 1 } + j_{ 3 } = 672 + 1009 = 1681 \ \\ \ \\ K = 2019







Napíšte nám komentár ku príkladu (úlohe) a jeho riešeniu (napríklad ak je stále niečo nejasné alebo máte iné riešenie, alebo príklad neviete vypočítať či riešenie je nesprávne...):

Zobrazujem 1 komentár:
#
Žiak
ako ste zistili k?

avatar









Máte lineárnu rovnicu alebo sústavu rovníc a hľadáte jej riešenie? Alebo máte kvadratickú rovnicu? Riešite Diofantovské problémy a hľadáte kalkulačku diofantovských celočíselných rovníc? Pozrite aj našu trigonometrickú trojuholníkovu kalkulačku.

Ďaľšie podobné príklady a úlohy:

  1. Tretiu s druhou
    sqrt_1 Máme 2 čísla. Keby sme vynásobili tretiu odmocninu prvého čísla s druhou odmocninou druhého čísla, dostali by sme číslo 18.Určte tieto 2 čísla. Ak má úloha v množine reálnych čísel nekonečne veľa riešení, vypočítajte len celočíselné riešenie.
  2. Myslel až vymyslel
    sqrt_3 Anton povedal: Mám prirodzené číslo x. Keď ho umocním na štyri tretiny, dostanem trikrát vačšie číslo. Aké číslo Anton myslel?
  3. Kniha o pyramídach
    books_27 Ak vynasobime cisla poslednych troch stran knihy o pyramidach dostaneme sucin 23639616. Kolko stran ma kniha ak cislo poslednej strany je parne?
  4. Koreň
    root_quadrat Koreň rovnice ? je: ?
  5. Úloha o pohybe
    peleton Z križovatky dvoch kolmých ciest vyšli súčasne dvaja cyklisti (každý inou cestou) jeden ide priemernou rýchlosťou 29 km/h, druhý priemernou rýchlosťou 27 km/h. Určte ich vzájomnú vzdialenosť po 50 minútach jazdy.
  6. Skratka
    direct_route Predstavte si, že idete ku kamarátovi po rovnej ceste. Tá cesta má dĺžku 270 metrov. Potom zahnete left a pôjdete ďalších 1810 metrov a ste u kamaráta. Otázka znie, o koľko bude kratšia cesta, keď pôjdete priamou cestou cez pole?
  7. Čas
    time Zapíš v minútach a zaokrúhli na jedno desatinné miesto: 5 h 28 m 26 s.
  8. Divadlo
    SND V divadle je v každom rade vždy 15 sedadiel. Vstupenka do prvých 5 radov stojí 26 EUR. Do ďalších radov sú vstupenky po 11 EUR. Predstavenie bolo plne vypredané. Tržba predstavovala 4920 EUR. Koľko radov je v divadle?
  9. Hranol X
    Cuboid_simple Hranol s hranami o dĺžkach x cm, 2x cm a 3x cm a má objem 48000 cm3. Akú veľkosť má povrch tohto hranola?
  10. Gule
    steel_ball Tri kovové gule s objemami V1=71 cm3, V2=78 cm3 a V3=64 cm3 sa odliala jedna guľa. Určite jej povrch.
  11. Sliepky
    chicken 11 sliepok by pozobalo rozsypané zrno od 6h do 16h. V 11 h však babička priniesla 4 sliepok, ktoré dokúpila od susedky. V koľko hodín bolo zrno pozobané?
  12. Pestovateľ
    fruit_1 Pestovateľ obral 190 kg jabĺk. Hrušiek obral 10krát menej. a) Koľko kg hrušiek obral? b) Koľko jabĺk a hrušiek obral? c) O koľko kg hrušiek obral menej než jabĺk?
  13. Kocka premena
    cubes_20 Objem kocky je 216 cm3, vypočitajte povrch.
  14. O koľko
    flower_function O koľko a koľkokrát je väčšie 72.1 ako 0.00721?
  15. Doplň znamienka
    plusminus_2 Doplň znamienka (+, -, *, /, zátvorky) aby platila rovnica: 1 3 6 5 = 10 Je to pre 4. triedu ZŠ - so zápornými číslami ešte nepočítali
  16. Komplexná odmocnina
    sqrt3_complex Určte súčet troch tretích odmocnín z čísla 64.
  17. Doplň 2
    plusminus_5 Doplň symboly operácií (+-*/) aby platilo: (4 4) (4 4)=15