MO Z9-I-6 2019

Kristína zvolila isté nepárne prirodzené číslo deliteľné tromi. Jakub s Dávidom potom skúmali trojuholníky, ktoré majú obvod v milimetroch rovný Kristínou zvolenému číslu a ktorých strany majú dĺžky v milimetroch vyjadrené navzájom rôznymi celými číslami.
Jakub našiel taký trojuholník, v ktorom najdlhšia zo strán má najväčšiu možnú dĺžku, a túto hodnotu zapísal na tabuľu. Dávid našiel taký trojuholník, v ktorom najkratšia zo strán má najväčšiu možnú dĺžku, a túto hodnotu tiež zapísal na tabuľu. Kristína obe dĺžky na tabuli správne sčítala a vyšlo jej 1 681 mm. Určte, ktoré číslo Kristína zvolila.

Výsledok

K =  2019

Riešenie:

K=3k;kN  K=a+b+c a<b<c 3k=a+b+c  max=(K1)/2 min=1  K=j1+j2+j3 j1<j2<j3  j1=1\orj1=2 j2=(K3)/2 j3=(K1)/2  1+(K3)/2+(K1)/2=K  K=d1+d2+d3 d1<d2<d3 d1=K/31 d2=K/3+0 d3=K/3+1  d1+j3=1681 K/31+(K1)/2=1681   3k/31+(3k1)/2=1681  15k=10095  k=673  K=3 k=3 673=2019  j1=2 mm j2=(K3)/2=(20193)/2=1008 mm j3=(K1)/2=(20191)/2=1009 mm o1=j1+j2+j3=2+1008+1009=2019 mm  d1=K/31=2019/31=672 mm d2=K/3=2019/3=673 mm d3=K/3+1=2019/3+1=674 mm o2=d1+d2+d3=672+673+674=2019 mm  o1=o2=K  x1=d1+j3=672+1009=1681  K=2019K = 3k; k \in N \ \\ \ \\ K = a+b+c \ \\ a < b < c \ \\ 3k = a+b+c \ \\ \ \\ max = (K-1)/2 \ \\ min = 1 \ \\ \ \\ K = j_{ 1 }+j_{ 2 }+j_{ 3 } \ \\ j_{ 1 } < j_{ 2 } < j_{ 3 } \ \\ \ \\ j_{ 1 } = 1 \or j_{ 1 } = 2 \ \\ j_{ 2 } = (K-3)/2 \ \\ j_{ 3 } = (K-1)/2 \ \\ \ \\ 1 + (K-3)/2+(K-1)/2 = K \ \\ \ \\ K = d_{ 1 }+d_{ 2 }+d_{ 3 } \ \\ d_{ 1 } < d_{ 2 } < d_{ 3 } \ \\ d_{ 1 } = K/3-1 \ \\ d_{ 2 } = K/3+0 \ \\ d_{ 3 } = K/3+1 \ \\ \ \\ d_{ 1 }+j_{ 3 } = 1681 \ \\ K/3-1 + (K-1)/2 = 1681 \ \\ \ \\ \ \\ 3k/3-1 + (3k-1)/2 = 1681 \ \\ \ \\ 15k = 10095 \ \\ \ \\ k = 673 \ \\ \ \\ K = 3 \cdot \ k = 3 \cdot \ 673 = 2019 \ \\ \ \\ j_{ 1 } = 2 \ mm \ \\ j_{ 2 } = (K-3)/2 = (2019-3)/2 = 1008 \ mm \ \\ j_{ 3 } = (K-1)/2 = (2019-1)/2 = 1009 \ mm \ \\ o_{ 1 } = j_{ 1 }+j_{ 2 }+j_{ 3 } = 2+1008+1009 = 2019 \ mm \ \\ \ \\ d_{ 1 } = K/3-1 = 2019/3-1 = 672 \ mm \ \\ d_{ 2 } = K/3 = 2019/3 = 673 \ mm \ \\ d_{ 3 } = K/3+1 = 2019/3+1 = 674 \ mm \ \\ o_{ 2 } = d_{ 1 }+d_{ 2 }+d_{ 3 } = 672+673+674 = 2019 \ mm \ \\ \ \\ o_{ 1 } = o_{ 2 } = K \ \\ \ \\ x_{ 1 } = d_{ 1 } + j_{ 3 } = 672 + 1009 = 1681 \ \\ \ \\ K = 2019







Napíšte nám komentár ku príkladu (úlohe) a jeho riešeniu (napríklad ak je stále niečo nejasné alebo máte iné riešenie, alebo príklad neviete vypočítať či riešenie je nesprávne...):

Zobrazujem 1 komentár:
#
Žiak
ako ste zistili k?

avatar









Máte lineárnu rovnicu alebo sústavu rovníc a hľadáte jej riešenie? Alebo máte kvadratickú rovnicu? Riešite Diofantovské problémy a hľadáte kalkulačku diofantovských celočíselných rovníc? Pozrite aj našu trigonometrickú trojuholníkovu kalkulačku.

Ďaľšie podobné príklady a úlohy:

  1. Obdĺžnik
    diagonal V obdĺžniku so stranami 5 a 8 vyznačíme uhlopriečku. Aká je pravdepodobnosť, že náhodne zvolený bod vnútri obdĺžnika je bližšie k tejto uhlopriečke, ako k ľubovoľnej strane obdĺžnika?
  2. Lichobežník MO
    right_trapezium Je daný pravouhlý lichobežník ABCD s pravým uhlom pri bode B, |AC| = 12, |CD| = 8, uhlopriečky sú na seba kolmé. Vypočítajte obvod a obsah takéhoto lichobežníka.
  3. Lichobežník MO-5-Z8
    lichobeznik_mo_z8 Lichobežník ABCD je úsečkou CE rozdelený na trojuholník a rovnobežník, viď obrázok. Bod F je stredom úsečky CE, priamka DF prechádza stredom úsečky BE a obsah trojuholníka CDE je 3 cm2. Určte obsah lichobežníka ABCD.
  4. Štvoruholník
    quadrilateral Ukážte, že štvoruholník s vrcholmi P1 (0,1), P2 (4,2) P3 (3,6) P4 (-5,4) má dva pravé trojuholníky.
  5. 30uholník
    30gon V pravidelnom 30 uholníku je polomer kružnice vpísanej 15cm. Zistite veľkosť hrany "a", polomer kružnice opísanej "R", obvod a obsah.
  6. Rovnobežník - uhlopriečky
    Parallelogram_1 Vypočítajte obsah rovnobežníka, ak sú veľkosti strán a=80, b=60 a veľkosť uhla zovretého uhlopriečkami je 60°.
  7. Odsek a oblúk
    odsek Vypočítaj plochu S odseku a dľžku kružnicového oblúka l . Výška odseku je 2 cm a uhol α=60°. Pomôcka: S=1/2 r2 . (β-sinβ)
  8. Štvrťkruh 4
    quarter_circle_1 Aký polomer má kruh vpisany do štvrťkruhu s polomerom 100 cm?
  9. Obsah kruhu
    described_circle2 Vypočítajte obsah kruhu, ktorý má rovnaký obvod ako je obvod obdĺžnika vpísanej kružnici s polomerom r 9 cm tak, že jeho strany sú v pomere 2 ku 7.
  10. Medzikružie
    medzikrucie2 Štvorcu o strane a = 1 je vpísaná a opísaná kružnica. Určte obsah medzikružia.
  11. Obsah obdĺžnika
    rectangle Vypočítajte obsah obdĺžnika s uhlopriečkou u = 12,5cm a so šírkou b = 3,5cm. Výpočet podľa Pytagorovej vety.
  12. Záhrada
    garden_1 Rozloha štvorcovej záhrady tvorí 2/3 rozlohy záhrady tvaru trojuholníka so stranami 176 m 110 m a 110 m. Koľko metrov pletiva potrebujem na oplotenie štvorcovej záhrady?
  13. Obdĺžnik
    rectangle_inscribed_circle Obdĺžnik je 45 cm dlhý a 24 cm široký. Urči polomer kružnice opísanej obdĺžniku.
  14. Trojuholník SUS
    triangle_iron Vypočítajte plochu a obvod trojuholníka, ak jeho dve strany sú dlhé 51 cm a 110 cm a uhol nimi zovretý je 130°.
  15. Kosoštvorec
    rhombus Vypočítajte obvod a obsah kosoštvorca, ktorého uhlopriečky sú dlhé 30 cm a 33 cm.
  16. Uhlopriečka štvorca
    square_d Vypočítajte dľžku uhlopriečky štvorca, ak jeho obvod je 136 cm.
  17. Kosoštvorec
    rhomus_circle Je daný kosoštvorec o dĺžky strany a = 15 cm. Dotykový bod vpísanej kružnice delí jeho stranu na úseky a1 = 10 cm a a2 = 5 cm. Určite polomer r tejto kružnice a dĺžky uhlopriečok kosoštvorca.