MO Z9-I-6 2019

Kristína zvolila isté nepárne prirodzené číslo deliteľné tromi. Jakub s Dávidom potom skúmali trojuholníky, ktoré majú obvod v milimetroch rovný Kristínou zvolenému číslu a ktorých strany majú dĺžky v milimetroch vyjadrené navzájom rôznymi celými číslami.
Jakub našiel taký trojuholník, v ktorom najdlhšia zo strán má najväčšiu možnú dĺžku, a túto hodnotu zapísal na tabuľu. Dávid našiel taký trojuholník, v ktorom najkratšia zo strán má najväčšiu možnú dĺžku, a túto hodnotu tiež zapísal na tabuľu. Kristína obe dĺžky na tabuli správne sčítala a vyšlo jej 1 681 mm. Určte, ktoré číslo Kristína zvolila.

Správny výsledok:

K =  2019

Riešenie:

K=3k,kN  K=a+b+c a<b<c 3k=a+b+c  max=(K1)/2 min=1  K=j1+j2+j3 j1<j2<j3  j1=1j1=2 j2=(K3)/2 j3=(K1)/2  1+(K3)/2+(K1)/2=K  K=d1+d2+d3 d1<d2<d3 d1=K/31 d2=K/3+0 d3=K/3+1  d1+j3=1681 K/31+(K1)/2=1681   3k/31+(3k1)/2=1681  3 k/31+(3 k1)/2=1681  15k=10095  k=673K=3 k=3 673=2019  j1=2 mm j2=(K3)/2=(20193)/2=1008 mm j3=(K1)/2=(20191)/2=1009 mm o1=j1+j2+j3=2+1008+1009=2019 mm  d1=K/31=2019/31=672 mm d2=K/3=2019/3=673 mm d3=K/3+1=2019/3+1=674 mm o2=d1+d2+d3=672+673+674=2019 mm  o1=o2=K  x1=d1+j3=672+1009=1681  K=2019K=3k, k \in N \ \\ \ \\ K=a+b+c \ \\ a < b < c \ \\ 3k=a+b+c \ \\ \ \\ max=(K-1)/2 \ \\ min=1 \ \\ \ \\ K=j_{1}+j_{2}+j_{3} \ \\ j_{1} < j_{2} < j_{3} \ \\ \ \\ j_{1}=1 \vee j_{1}=2 \ \\ j_{2}=(K-3)/2 \ \\ j_{3}=(K-1)/2 \ \\ \ \\ 1 + (K-3)/2+(K-1)/2=K \ \\ \ \\ K=d_{1}+d_{2}+d_{3} \ \\ d_{1} < d_{2} < d_{3} \ \\ d_{1}=K/3-1 \ \\ d_{2}=K/3+0 \ \\ d_{3}=K/3+1 \ \\ \ \\ d_{1}+j_{3}=1681 \ \\ K/3-1 + (K-1)/2=1681 \ \\ \ \\ \ \\ 3k/3-1 + (3k-1)/2=1681 \ \\ \ \\ 3 \cdot \ k/3-1 + (3 \cdot \ k-1)/2=1681 \ \\ \ \\ 15k=10095 \ \\ \ \\ k=673K=3 \cdot \ k=3 \cdot \ 673=2019 \ \\ \ \\ j_{1}=2 \ \text{mm} \ \\ j_{2}=(K-3)/2=(2019-3)/2=1008 \ \text{mm} \ \\ j_{3}=(K-1)/2=(2019-1)/2=1009 \ \text{mm} \ \\ o_{1}=j_{1}+j_{2}+j_{3}=2+1008+1009=2019 \ \text{mm} \ \\ \ \\ d_{1}=K/3-1=2019/3-1=672 \ \text{mm} \ \\ d_{2}=K/3=2019/3=673 \ \text{mm} \ \\ d_{3}=K/3+1=2019/3+1=674 \ \text{mm} \ \\ o_{2}=d_{1}+d_{2}+d_{3}=672+673+674=2019 \ \text{mm} \ \\ \ \\ o_{1}=o_{2}=K \ \\ \ \\ x_{1}=d_{1} + j_{3}=672 + 1009=1681 \ \\ \ \\ K=2019



Naše príklady z veľkej miery nám poslali alebo vytvorili samotní žiaci a študenti. Preto budeme veľmi radi, ak prípadne chyby, ktoré ste našli, pravopisné chyby alebo preštylizovanie príkladu nám prosím pošlite. Ďakujeme!


Napíšte nám komentár ku príkladu (úlohe) a jeho riešeniu (napríklad ak je stále niečo nejasné alebo máte iné riešenie, alebo príklad neviete vypočítať či riešenie je nesprávne...):

Zobrazujem 1 komentár:
#
Žiak
ako ste zistili k?

avatar






Tipy na súvisiace online kalkulačky
Máte lineárnu rovnicu alebo sústavu rovníc a hľadáte jej riešenie? Alebo máte kvadratickú rovnicu?
Riešite Diofantovské problémy a hľadáte kalkulačku diofantovských celočíselných rovníc?
Chcete zaokrúhliť číslo?
Pozrite aj našu trigonometrickú trojuholníkovu kalkulačku.

 
Odporúčame k tejto úlohe z matematiky si pozrieť toto výukové video: video1   video2   video3   video4   video5   video6

Ďaľšie podobné príklady a úlohy:

  • Z9–I–3 MO 2019
    reciprocal Pre ktoré celé čísla x je podiel (x+11)/(x+7) celým číslom. Riešení je údajne viac.
  • MO 2019 Z8–I–4
    olympics_1 Pre päticu celých čísel platí, že keď k prvému pripočítame jednotku, druhé umocníme na druhú, od tretieho odčítame trojku, štvrté vynásobíme štyrmi a piate vydelíme piatimi, dostaneme zakaždým ten istý výsledok. Nájdite všetky také pätice čísel, ktorých s
  • Dĺžka 6
    cubes2 Dĺžka hrany kocky je celé číslo. Jej objem je v cm3 pätciferné číslo deliteľné 1331. Aká je dĺžka hrany tejto kocky.
  • Na papieri
    number_line Na papieri bolo napísaných niekoľko kladných celých čísel. Miška si pamätala iba to, že každé číslo bolo polovicou súčtu všetkých ostatných čísel. Koľko čísel mohlo byť napísaných na papieri?
  • Rok 2018
    new_year Súčin troch kladných čísel je 2018. Ktoré sú to čísla?
  • Zistite,
    numberline_8 Zistite, ktoré čísla sú na číselnej osi vzdialené o 7 od čísla 27. Napíšte ich súčet.
  • Zbierka známok
    stamp_11 Jano, Rado a Fero vytvorili spoločnú zbierku známok v pomere 5:6:9. Dvaja z nich mali spolu 429 známok. Koľko známok mala ich spoločná zbierka?
  • Postupnosť
    sequence_geo_10 -12, 60, -300, 1500 . .. Aké sú dve ďalšie 2 čísla tejto postupnosti?
  • Číslo 29
    atom1 Číslo 20 137 je „račie“ k číslu 73 102. Podobne navzájom račie sú desatinné čísla 41,9 a 9,14, prípadne 31,08 a 80,13. Nájdi dve navzájom račie čísla, ktorých súčin je 357,435.
  • K opačnému
    plusminus_14 K opačnému súčtu čísel 12 + 13 pripočítajte opačné číslo ich rozdielu. Ktorý z uvedených výsledkov je správny?
  • Myslím 7
    number_line_12 Myslím si číslo, zväčším ho o 6. Zväčšené číslo zmenším o 12. Výsledok vynásobím číslom -2. Súčin predelím číslom -8 a dostanem číslo -4. Aké číslo si myslím?
  • Celé čísla 5
    numberline Ktoré párne celé čísla sú väčšie ako -1 1/4 a menšie ako 7 1/4? Vyznač ich na číselnej osi.
  • Uchádzači o zamestnanie
    workers Uchádzači o zamestnanie: tri štvrtiny uchádzačov o prax mali skúsenosti. Počet, ktorý nemal predchádzajúce skúsenosti, bol 36. Koľko ľudí požiadalo o prácu?
  • Dve celé čísla
    x-5-x-3-graph Dve celé čísla a a b, majú súčin 36. Aký je najmenší možný súčet a+b?
  • Výraz 14
    numbers_49 Vypočítajte: (-1)2 . 12 – 6 : 3 + (-3) . (-2) + 22 – (-3) . 2
  • V prvej
    gulky_13 V prvej partii vyhral jano 39 a v druhej partii vyhral jano 28 fazuliek. Ako bol Jano na tom po tychto partiach? Celkovo vyhral alebo prehral?
  • Holandsko
    holland Najvyšší bod Holandska, Vaalserberg, má nadmorskú výšku iba 328m. Najnižšie položené miesto tejto krajiny, Nieuwerkerk, leží 7m pod úrovňou hladiny mora. Aký je ich výškový rozdiel?