MO 2019 Z5–I–3 Dukáty
Pán kráľ rozdával svojim synom dukáty. Najstaršiemu synovi dal určitý počet dukátov, mladšiemu dal o jeden dukát menej, ďalšiemu dal opäť o jeden dukát menej a takto postupoval až k najmladšiemu. Potom sa vrátil k najstaršiemu synovi, dal mu
o jeden dukát menej ako pred chvíľou najmladšiemu a rovnakým spôsobom ako v prvom kole rozdával ďalej. V tomto kole vyšiel na najmladšieho syna jeden dukát. Najstarší syn dostal celkom 21 dukátov.
Určte, koľko mal kráľ synov a koľko im celkom rozdal dukátov.
o jeden dukát menej ako pred chvíľou najmladšiemu a rovnakým spôsobom ako v prvom kole rozdával ďalej. V tomto kole vyšiel na najmladšieho syna jeden dukát. Najstarší syn dostal celkom 21 dukátov.
Určte, koľko mal kráľ synov a koľko im celkom rozdal dukátov.
Správna odpoveď:
Zobrazujem 10 komentárov:
Linda
aj tak tomu nerozumiem, čo je "n" a čo je "s". Ak má sedem synov, tak to predsa nevychádza. Či?!
Nemôžete mi to nakresliť koľko dostal v ktorom kole dukátov a koľko bolo vlastne tých kôl?
Nemôžete mi to nakresliť koľko dostal v ktorom kole dukátov a koľko bolo vlastne tých kôl?
4 roky 2 Likes
Linda
podľa zadania vychádza, že boli tri kolá. A na konci tretieho kola má mať SPOLU 21 dukátov. Podľa vášho riešenia mi to nevychádza. Alebo ako to vlastne je.
Dr Math
no vidite; kola boli len dve (nepise sa v zadani ze viacej bolo)... princov bolo 7. Prvy dostal 14+7 = 21 ... dalsi 13+6 = 19 atd...
Linda
a ako vlastne prídem na to, že mal sedem synov. Ja som síce počítala 21/3, ale neviem prečo ma napadla tá trojka.
Dr Math
skuste ist na to odzadu... n-ty dostane 1 dukat, (n-1) syn 2 dukaty ( vsimnite si ze sucet poradia a poctu dokatov je vzdy n+1)... az prvy syn n-dukatov. ak ideme este dozadu o kolo tak prvy syn dostane v predoslom kole 2n dukatov, este v dalsom 3n dukatov atd. tj. kazdym kolom o n dukatov viacej by dostal.
cize 1+2 druhe kolo rozdavania dukatov 2n+n = 3n = 21 dukatov. Rovnicu vyriesime a mame n=7
Keby rozdava 3 kola, tak prvy dostane 42 dukatov = 7+14+21(to je len ukazka)
cize 1+2 druhe kolo rozdavania dukatov 2n+n = 3n = 21 dukatov. Rovnicu vyriesime a mame n=7
Keby rozdava 3 kola, tak prvy dostane 42 dukatov = 7+14+21(to je len ukazka)
4 roky 1 Like
Linda
Takže jednoducho iba postupne skúšať s koľkými synmi to výjde. Lebo rovnice sme sa ešte neučili.
Matematik
A mame tu oficialne riesenie - konstatujem ze sme sa nepomylili:
Nápad. Koľko dukátov by dostal najstarší syn, ak by kráľ rovnakým spôsobom rozdával napr. štyrom synom?
Riešenie. Pre konkrétny počet synov si možno kráľov spôsob rozdávania dukátov názorne vyskúšať. Stačí postupovať odzadu: najmladší v druhom kole dostal jeden dukát, druhý najmladší dva dukáty atď. Napr. pre dvoch, troch, resp. štyroch synov by
počty dukátov v jednotlivých kolách vyzerali nasledovne (zoradené zhora nadol podľa kôl, zľava doprava podľa veku):
4 3
2 1
6 5 4
3 2 1
8 7 6 5
4 3 2 1
Najstarší syn by v prvom prípade dostal 6, v druhom prípade 9, resp. v treťom prípade 12 dukátov. Týmto spôsobom možno postupne nájsť situáciu, keď najstarší syn dostal 21 dukátov:
14 13 12 11 10 9 8
7 6 5 4 3 2 1
Teda kráľ mal 7 synov a celkom im rozdal 105 dukátov.
Poznámky. Namiesto skúšania si možno všimnúť, že zo zadania vyplýva nasledujúce:
najstarší syn v druhom kole dostane práve toľko dukátov, koľko je synov, a v prvom kole dvojnásobok, celkom teda trojnásobok počtu synov. Aby tento počet bol rovný 21, musí byť 7 synov a celkový počet dukátov 1 + 2 + · · · + 14 = 105.
Súčet rozdaných dukátov možno určiť rôzne, napr. nasledujúcou skratkou:
(1 + 14) + (2 + 13) + · · · + (7 + 8) = 7 · 15 = 105.
Nápad. Koľko dukátov by dostal najstarší syn, ak by kráľ rovnakým spôsobom rozdával napr. štyrom synom?
Riešenie. Pre konkrétny počet synov si možno kráľov spôsob rozdávania dukátov názorne vyskúšať. Stačí postupovať odzadu: najmladší v druhom kole dostal jeden dukát, druhý najmladší dva dukáty atď. Napr. pre dvoch, troch, resp. štyroch synov by
počty dukátov v jednotlivých kolách vyzerali nasledovne (zoradené zhora nadol podľa kôl, zľava doprava podľa veku):
4 3
2 1
6 5 4
3 2 1
8 7 6 5
4 3 2 1
Najstarší syn by v prvom prípade dostal 6, v druhom prípade 9, resp. v treťom prípade 12 dukátov. Týmto spôsobom možno postupne nájsť situáciu, keď najstarší syn dostal 21 dukátov:
14 13 12 11 10 9 8
7 6 5 4 3 2 1
Teda kráľ mal 7 synov a celkom im rozdal 105 dukátov.
Poznámky. Namiesto skúšania si možno všimnúť, že zo zadania vyplýva nasledujúce:
najstarší syn v druhom kole dostane práve toľko dukátov, koľko je synov, a v prvom kole dvojnásobok, celkom teda trojnásobok počtu synov. Aby tento počet bol rovný 21, musí byť 7 synov a celkový počet dukátov 1 + 2 + · · · + 14 = 105.
Súčet rozdaných dukátov možno určiť rôzne, napr. nasledujúcou skratkou:
(1 + 14) + (2 + 13) + · · · + (7 + 8) = 7 · 15 = 105.
Na vyriešenie tejto úlohy sú potrebné tieto znalosti z matematiky:
Jednotky fyzikálnych veličín:
Téma:
Úroveň náročnosti úlohy:
Súvisiace a podobné príklady:
- Priklad – 8. rocnik (asi MO)
Adam napı́sal nasledujúci súčet s piatimi tajnými sčı́tancami: a + bb + ccc + dddd + eeeee. Prezradil, že znaky „a, b, c, d, e“ predstavujú navzájom rôzne cifry 1, 2, 3, 4, 5 a že výsledný súčet je deliteľný 11. Ktoré najmenšie a ktoré na - Mo z5 2023 psy
Anetkin strýko má narodeniny v rovnaký deň v roku ako Anetkin teta. Strýko je staršie ako teta, nie však o viac ako o desať rokov, a obaja sú plnoletí. Na poslednej oslave ich narodenín si Anetka uvedomila, že keď vynásobí ich oslavované veky a výsledný s - Trojuholník MO Z8-I-5
Trojuholník ABC je rozdelený úsečkami. Úsečky DE a AB sú rovnobežné. Trojuholníky CDH, CHI, CIE, FIH majú rovnaký obsah a to 8 dm². Zistite obsah štvoruholníka AFHD. - Zajac 2024m
Zajac sa zúčastnil na pretekoch dlhých 2024 metrov. Zo štartovej čiary sa odrazil ľavou nohou a po celý čas pretekov pravidelne striedal ľavú, pravú a obe nohy. Keď sa zajac odrazil ľavou nohou, skočil 35 dm, keď sa odrazil pravou nohou, skočil 15 - Karol 9
Karol mal vynásobiť dve dvojciferné čísla. Z nepozornosti vymenil poradie cifier v jednom z činiteľov a dostal súčin, ktorý bol o 4 248 menší ako správny výsledok. Aký je správny výsledok? Koľko malo Karolovi správne vyjsť? - MO 2023
V záhradkarskej osade mal pán Jahoda vo svojom sude 16.litrov vody. Sused Malina mal vo svojom sude tri krát viac vody, ako pán Jahoda. Začalo pršať a do oboch sudov napršalo rovnaké množstvo vody. Po daždi pán Malina zistil, že má v sude dvakrát viac vod - Adam mal 3
Adam mal papier, ktorý bol natoľko veľký, že by sa z neho dalo natrhať niekoľko desiatok tisíc kúskov. Najprv papier roztrhal na štyri kúsky. Každý z týchto kú skov vzal a roztrhal buď na štyri, alebo na desať kúskov. Rovnakým spôsobom pokračo - Skautskom MO 2023 z8
V minulom roku bolo v našom skautskom oddiele o 30 chlapcov viac ako dievčat. Tento rok sa počet detí v oddiele zväčšil o 10%, pričom počet chlapcov sa zväčšil o 5% a počet dievčat sa zväčšil o 20%. Koľko detí máme tento rok v oddiele? - Odpočítajú 82333
Myslím si tri čísla, keď ich sčítam dostanem 16, keď od súčtu prvých dvoch čísel odpočítajú tretie dostanem 10, keď od súčtu prvého a tretieho čísla odčítajú druhé dostanem 8. Ktoré čísla si myslím? - Štvoruholník 14
Daný je štvorec ABCD. Stred AB je E, stred BC je F, CD je G a stred DA je H. Spojíme AF, BG, CH a DE. Vo vnútri štvorca (približne v strede) priesečníky týchto úsečiek vytvoria štvoruholník. Vypočítajte obsah tohto štvoruholníka. Ďakujem - MO Z6-I-3 2022
Magda si vystrihla dva rovnaké rovnoramenné trojuholníky, z ktorých každý mal obvod 100 cm. Najprv z týchto trojuholníkov zložila štvoruholník tak, že ich k sebe priložila ramenami. Potom z nich zložila štvoruholník tak, že ich k sebe priložila základňami - MO z9 2022
Sú dané dva zhodné rovnostranné trojuholníky ABC a BDE tak, že veľkosť uhla ABD je väčšia ako 120° a menšia ako 180° a body C, E ležia v rovnakej polrovine vymedzenej priamkou AD. Priesečník CD a AE je označený F. Určte veľkosť uhla AFD. - SKMO Z9 2022
Vrcholy štvorca ABCD spája lomená čiara DEFGHB. Menšie uhly pri vrcholoch E, F, G, H sú pravé a úsečky DE, EF, FG, GH, HB postupne merajú 6 cm, 4 cm, 4 cm, 1 cm, 2 cm. Určite obsah štvorca ABCD. - MO Z7 2022
Eva si myslela dve prirodzené čísla. Tieto najprv správne sčítala, potom správne odčítala. V obidvoch prípadoch dostala dvojciferný výsledok. Súčin takto vzniknutých dvojciferných čísel bol 645. Ktoré čísla si Eva myslela? Prosím vás aký je tento výsledok - MO 2022
Petra mala napísané prirodzené čísla od 1 do 9. Dve z týchto čísel sčítala, zmazala a výsledný súčet napísala miesto sčítancov. Mala tak napísané osem čísel, ktoré sa jej podarilo rozdeliť do dvoch skupín s rovnakým súčinom. Určite aký najväčší mohol byť - Nikola
Nikola mala v zošite napísané jedno trojciferne a jedno dvojciferné číslo. Každé z týchto čísel bolo tvorené navzájom rôznymi číslicami. Rozdiel Nikolinych čísel bol 976. Aký bol ich súčet? - Na lúke 5
Na lúke bolo 45 oviec a niekoľko pastierov. Potom ako z lúky odišla polovica pastierov a tretina oviec, mali zvyšní pastieri a ovce spolu 126 nôh. Všetky ovce a všetci pastieri mali obvykle počty nôh. koľko pastierov bolo pôvodne na lúke?