MO 2019 Z5–I–3 Dukáty
Pán kráľ rozdával svojim synom dukáty. Najstaršiemu synovi dal určitý počet dukátov, mladšiemu dal o jeden dukát menej, ďalšiemu dal opäť o jeden dukát menej a takto postupoval až k najmladšiemu. Potom sa vrátil k najstaršiemu synovi, dal mu
o jeden dukát menej ako pred chvíľou najmladšiemu a rovnakým spôsobom ako v prvom kole rozdával ďalej. V tomto kole vyšiel na najmladšieho syna jeden dukát. Najstarší syn dostal celkom 21 dukátov.
Určte, koľko mal kráľ synov a koľko im celkom rozdal dukátov.
o jeden dukát menej ako pred chvíľou najmladšiemu a rovnakým spôsobom ako v prvom kole rozdával ďalej. V tomto kole vyšiel na najmladšieho syna jeden dukát. Najstarší syn dostal celkom 21 dukátov.
Určte, koľko mal kráľ synov a koľko im celkom rozdal dukátov.
Správna odpoveď:
Zobrazujem 10 komentárov:
Linda
aj tak tomu nerozumiem, čo je "n" a čo je "s". Ak má sedem synov, tak to predsa nevychádza. Či?!
Nemôžete mi to nakresliť koľko dostal v ktorom kole dukátov a koľko bolo vlastne tých kôl?
Nemôžete mi to nakresliť koľko dostal v ktorom kole dukátov a koľko bolo vlastne tých kôl?
4 roky 2 Likes
Linda
podľa zadania vychádza, že boli tri kolá. A na konci tretieho kola má mať SPOLU 21 dukátov. Podľa vášho riešenia mi to nevychádza. Alebo ako to vlastne je.
Dr Math
no vidite; kola boli len dve (nepise sa v zadani ze viacej bolo)... princov bolo 7. Prvy dostal 14+7 = 21 ... dalsi 13+6 = 19 atd...
Linda
a ako vlastne prídem na to, že mal sedem synov. Ja som síce počítala 21/3, ale neviem prečo ma napadla tá trojka.
Dr Math
skuste ist na to odzadu... n-ty dostane 1 dukat, (n-1) syn 2 dukaty ( vsimnite si ze sucet poradia a poctu dokatov je vzdy n+1)... az prvy syn n-dukatov. ak ideme este dozadu o kolo tak prvy syn dostane v predoslom kole 2n dukatov, este v dalsom 3n dukatov atd. tj. kazdym kolom o n dukatov viacej by dostal.
cize 1+2 druhe kolo rozdavania dukatov 2n+n = 3n = 21 dukatov. Rovnicu vyriesime a mame n=7
Keby rozdava 3 kola, tak prvy dostane 42 dukatov = 7+14+21(to je len ukazka)
cize 1+2 druhe kolo rozdavania dukatov 2n+n = 3n = 21 dukatov. Rovnicu vyriesime a mame n=7
Keby rozdava 3 kola, tak prvy dostane 42 dukatov = 7+14+21(to je len ukazka)
4 roky 1 Like
Linda
Takže jednoducho iba postupne skúšať s koľkými synmi to výjde. Lebo rovnice sme sa ešte neučili.
Matematik
A mame tu oficialne riesenie - konstatujem ze sme sa nepomylili:
Nápad. Koľko dukátov by dostal najstarší syn, ak by kráľ rovnakým spôsobom rozdával napr. štyrom synom?
Riešenie. Pre konkrétny počet synov si možno kráľov spôsob rozdávania dukátov názorne vyskúšať. Stačí postupovať odzadu: najmladší v druhom kole dostal jeden dukát, druhý najmladší dva dukáty atď. Napr. pre dvoch, troch, resp. štyroch synov by
počty dukátov v jednotlivých kolách vyzerali nasledovne (zoradené zhora nadol podľa kôl, zľava doprava podľa veku):
4 3
2 1
6 5 4
3 2 1
8 7 6 5
4 3 2 1
Najstarší syn by v prvom prípade dostal 6, v druhom prípade 9, resp. v treťom prípade 12 dukátov. Týmto spôsobom možno postupne nájsť situáciu, keď najstarší syn dostal 21 dukátov:
14 13 12 11 10 9 8
7 6 5 4 3 2 1
Teda kráľ mal 7 synov a celkom im rozdal 105 dukátov.
Poznámky. Namiesto skúšania si možno všimnúť, že zo zadania vyplýva nasledujúce:
najstarší syn v druhom kole dostane práve toľko dukátov, koľko je synov, a v prvom kole dvojnásobok, celkom teda trojnásobok počtu synov. Aby tento počet bol rovný 21, musí byť 7 synov a celkový počet dukátov 1 + 2 + · · · + 14 = 105.
Súčet rozdaných dukátov možno určiť rôzne, napr. nasledujúcou skratkou:
(1 + 14) + (2 + 13) + · · · + (7 + 8) = 7 · 15 = 105.
Nápad. Koľko dukátov by dostal najstarší syn, ak by kráľ rovnakým spôsobom rozdával napr. štyrom synom?
Riešenie. Pre konkrétny počet synov si možno kráľov spôsob rozdávania dukátov názorne vyskúšať. Stačí postupovať odzadu: najmladší v druhom kole dostal jeden dukát, druhý najmladší dva dukáty atď. Napr. pre dvoch, troch, resp. štyroch synov by
počty dukátov v jednotlivých kolách vyzerali nasledovne (zoradené zhora nadol podľa kôl, zľava doprava podľa veku):
4 3
2 1
6 5 4
3 2 1
8 7 6 5
4 3 2 1
Najstarší syn by v prvom prípade dostal 6, v druhom prípade 9, resp. v treťom prípade 12 dukátov. Týmto spôsobom možno postupne nájsť situáciu, keď najstarší syn dostal 21 dukátov:
14 13 12 11 10 9 8
7 6 5 4 3 2 1
Teda kráľ mal 7 synov a celkom im rozdal 105 dukátov.
Poznámky. Namiesto skúšania si možno všimnúť, že zo zadania vyplýva nasledujúce:
najstarší syn v druhom kole dostane práve toľko dukátov, koľko je synov, a v prvom kole dvojnásobok, celkom teda trojnásobok počtu synov. Aby tento počet bol rovný 21, musí byť 7 synov a celkový počet dukátov 1 + 2 + · · · + 14 = 105.
Súčet rozdaných dukátov možno určiť rôzne, napr. nasledujúcou skratkou:
(1 + 14) + (2 + 13) + · · · + (7 + 8) = 7 · 15 = 105.
Na vyriešenie tejto úlohy sú potrebné tieto znalosti z matematiky:
Jednotky fyzikálnych veličín:
Téma:
Úroveň náročnosti úlohy:
Súvisiace a podobné príklady:
- Neviem výkon
Určite výkon čerpadla ak: Vypolievam s hadicou 3 m³ vody z nádrže za 120 sekúnd. Výška ústia hadice nad nádržou je 1,5m. Rýchlosť vody z ústia hadice je 20 m/s. - Najplytšej 7477
Bazén s dĺžkou l = 50 m a šírkou s = 15 m má pri stene v najplytšej časti hĺbku h1 = 1,2 m. Hĺbka sa potom plynule zväčšuje do hĺbky h2 = 1,5 m uprostred bazéna a ďalej sa opäť plynule zväčšuje do hĺbky h3 = 4,5 m u steny v najhlbšej časti bazéna. Uvažujt - Elektráreň Orlík
Vodná elektráreň Orlík vybudovanú v rokoch 1954-1961 tvoria štyri Kaplanove turbíny. Ku každej z nich je potrubím so spádom h = 70,5 pri plnom výkone privádzaná voda s objemovým prietokom Q = 150m3/s. a) Aký je celkový inštalovaný výkon elektrá - Transformátor 2
Transformátor je chladený olejom a transformuje výkon 20MW s účinnosťou 92%. Určte teplotu oleja na výstupe z transformátora, ak mal olej pri vstupe do transformátora 20°C. Transformátorom pretečie za 1s 2,5l oleja. Hustota oleja je 960kg/m3, m - Človek 2
Človek s hmotnosťou 50kg prejde 15 schodov. Jeden schod je vysoký 18cm. Určite výkon človeka pri: a) pomalom vzostupe zo schodov, ak mu to trvalo 13 sekúnd b) pomalom zostupe zo schodov, ak mu to trvalo 10 sekúnd c) rýchlom vzostupe zo schodov, ak mu to t - Radiátory
Vypočítajte výkon radiátora, ak má tepelný spád (rozdiel teplôt vstupnej vody a spiatočky) a) 5°C b) 10°C c) 15°C d) 20°C a objemový prietok vykurovacej vody 45 kg/hod. Ako rýchlo prúdi voda v prívodnom potrubí k radiátoru e) DN16 a f) DN20? Označenie DN - Turbínu 39281
Koľko výkonu môžeme dostať pokiaľ budu Liať etanol na mini turbínu z výšky 1,5m Objem Etanol 0,2m³. Koľko práce etanol vykoná? Doba liatia je 1,9 minúty. Hustota etanolu je 789 kg/m³. - Betónový
Betónový stĺp diaľničného mosta má tvar kvádra s rozmermi 1m x 0,8m x 25m. Má byť vyzdvihnutý pomocou žeriavu do výšky 20m. Aký je výkon jeho motora, ak trvá zdvíhanie 2 min? - Čerpadlo
Aký výkon má čerpadlo, ktoré vytlačí 4853 hl vody do výšky 31 m za 8 hodín? - Zlodej Cu
Zlodej ukradol 65 metrov medeného trolejového vedenia s prierezom 83 mm2. Vypočítajte koľko dostane vo výkupni, ak meď vykupujú po 4,7 Eur/kg? Hustota medi je 8,96 t/m3. - Kvapalina 2
Kvapalina má mernú tiaž γ = 9050 N . m-3. Vypočítajte jej mernú hmotnosť, hmotnosť 2 m³ tejto kvapaliny a tiaž 3 m³ tejto kvapaliny. - Lyžiar 9
Lyžiar zíde po svahu dlhom 66 m rovnomerne zrýchleným pohybom za 10 sekúnd. S akým zrýchlením sa pohyboval a aký je sklon svahu? - Človek 3
Človek prenesie vo výške 80 cm nad vozovkou rovnobežne s ňou rovnomerným pohybom kameň s hmotnosťou 2 kg po dráhe 6 m za 10 s. S akým výkonom pracuje? - Motor 10
Motor žeriava má stály výkon 9 kW. Za aký čas zdvihne teleso s hmotnosťou 12 ton do výšky 9 m rovnomerným pohybom? - (hydrostatický) 32801
A) Vypočítaj tlak (hydrostatický) pri dne Mariánskej priekopy. Hustota morskej vody je 1 030 kg/m³. Čo musíš zistiť v atlase či na internete? b) Vypočítaj tlakovú silu pôsobiacu na ponorku s obsahom 2000dm² pri dne tohto priekopy. c) Vypočítaj tlakovú sil - Hydrostatický 30131
Vypočítaj prosím podľa Pascalovho zákona. Vypočítaj aký je hydrostatický tlak v hĺbke 300m pod hladinou mora, ak je hustota morskej vody približne 1025kg na m³. V akej hĺbke pod hladinou má hydrostatický tlak hodnotu 4,5 MPa? - Hydrostatická sila 2
Ponorka je v hĺbke 50 m pod voľným povrchom mora. Určte hydrostatickú tlakovou silu morskej vody na kovový poklop, ktorý má obsah 0,6 m².