Betka
Betka si myslela prirodzené číslo s navzájom rôznymi ciframi a napísala ho na tabuľu.
Podeň zapísala cifry pôvodného čísla odzadu a tak získala nové číslo. Sčítaním týchto dvoch čísel dostala číslo, ktoré malo rovnaký počet cifier ako myslené číslo a skladalo sa iba z cifier mysleného čísla (avšak nemuselo obsahovať všetky jeho cifry). Erike sa Betkino číslo zapáčilo a chcela nájsť iné číslo s rovnakými vlastnosťami. Zistila, že neexistuje menšie také číslo ako
Betkino a väčšie sa jej hľadať nechcelo. Určte, aké číslo si myslela Betka a aké číslo by mohla nájsť Erika, keby mala viac trpezlivosti.
Podeň zapísala cifry pôvodného čísla odzadu a tak získala nové číslo. Sčítaním týchto dvoch čísel dostala číslo, ktoré malo rovnaký počet cifier ako myslené číslo a skladalo sa iba z cifier mysleného čísla (avšak nemuselo obsahovať všetky jeho cifry). Erike sa Betkino číslo zapáčilo a chcela nájsť iné číslo s rovnakými vlastnosťami. Zistila, že neexistuje menšie také číslo ako
Betkino a väčšie sa jej hľadať nechcelo. Určte, aké číslo si myslela Betka a aké číslo by mohla nájsť Erika, keby mala viac trpezlivosti.
Správna odpoveď:
Zobrazujem 1 komentár:
Peter2
Nápoveda. Zvážte postupne možnosti, kedy je myslené číslo jednomiestne, dvojmiestne atď. V jednotlivých prípadoch premýšľajte postupne nad možnými súčty na mieste jednotiek, desiatok atď.
Možné riešenie. Najprv nájdeme Betkine číslo, tj. najmenšie číslo s uvedenými vlastnosťami.
1) Predpokladajme, že Betkine číslo je jednomiestne, a označíme si ich a. Potom by podľa zadania muselo platiť a + a = a, čo platí len v prípade a = 0. Nula však nie je prirodzené číslo, takže Betkine myslenej číslo nemôže byť jednomiestne.
2) Predpokladajme, že Betkine číslo je dvojmiestne, a označíme si ich ab. Či už súčet ab + ba dopadne akokoľvek, na mieste jednotiek čítame buď b + a = a, alebo b + a = b. Odtiaľ dostávame buď b = 0, alebo a = 0. V takom prípade by však buď číslo ba, alebo číslo ab nebolo dvojciferné. Betkine myslené číslo teda nemôže byť dvojmiestne.
3) Predpokladajme, že Betkine číslo je trojmiestne, a označíme si ich abc. Z rovnakého dôvodu ako vyššie nemôžu byť čísla aac nuly, teda v súčte abc + cba sa na mieste jednotiek môže objaviť jedine b:
a b c
c b a
____
* * b
Súčasne c + a nemôže byť väčšia ako 9, pretože potom by celkový súčet abc + cba nebol trojmiestny. Odtiaľ sa dozvedáme, že a + c = b čo okrem iného znamená, že ani číslica b nemôže byť 0. Odtiaľ vyplýva, že súčet b + b na mieste desiatok nemôže byť menšia ako 10; v takom prípade by tento súčet bol rovný jednému z čísel a, b, c, čo vždy vedie k nejakému sporu s predchádzajúcimi poznatkami:
Ak b + b = a alebo b + b = c, potom podľa (1) dostávame 2a + 2c = a alebo 2a + 2c = c, teda a = -2C alebo c = -2a, čo nie je možné.
• Ak b + b = b, potom b = 0, čo nie je možné.
Súčet b + b na mieste desiatok však nemôže byť ani väčšia než 9. V takom prípade by súčet na mieste stoviek bol a + c + 1 a toto číslo má byť presne jednému z čísel a, b, c; to vždy vedie k nejakému sporu:
• Ak a + c + 1 = a alebo a + c + 1 = c, potom c = -1 alebo a = -1, čo nie je možné.
• Ak a + c + 1 = b, potom podľa (1) dostávame b + 1 = b, teda 1 = 0, čo nie je možné.
Betkine myslené číslo teda nemôže byť ani trojmiestne.
4) Predpokladajme, že Betkine číslo je štvormiestne, a označíme si ich abcd. Z rovnakého dôvodu ako vyššie nemôžu byť čísla aad nuly, teda v súčte abcd + dcba sa na mieste jednotiek môže objaviť buď b, alebo c:
a b c d
d c b a
----------
* * * b
a b c d
d c b a
----------
* * * c
Súčasne d + a nemôže byť väčšia ako 9, pretože potom by celkový súčet abcd + DCBA nebol štvormiestny. Odtiaľ sa dozvedáme, že
buď a + d = b, (dalej len 2)
alebo a + d = c. (dalej len 3)
To okrem iného znamená, že buď b <> 0, alebo c <> 0.
Teraz predpokladáme, že súčet c + b na mieste desiatok je menšia ako 10, tzn. tento súčet je rovný jednému z čísel a, b, c, d, a preskúmame jednotlivé prípady. Najprv uvažujme platnosť (2), a teda b <> 0:
• Ak b + c = a alebo b + c = d, potom podľa (2) dostávame a + d + c = a alebo a + d + c = d, teda c = -d alebo c = -a, čo nie je možné .
• Ak b + c = b, potom c = 0 (čo ničomu nevadí).
• Ak b + c = c, potom b = 0, čo nie je možné.
Podobne, za predpokladu (3) zistíme, že jediná prípustná možnosť je b + c = c, teda b = 0
Celkom tak objavujeme dva možné prípady:
a b 0 d
d 0 b a
----------
b b b b
a 0 c d
d c 0 a
----------
c c c c
Pretože Betkine číslo je najmenšie číslo vyhovujúce všetkým uvedeným podmienkam, vôbec sa nemusíme zaoberať prípadom, kedy súčet c + b je väčší ako 9, a sústredíme sa výhradne na druhú z vyššie menovaných možností, tj. B = 0. Dosadíme najmenšie možné číslo na miesto tisícok a = 1 a zisťujeme, že c = d + 1. Najmenší vyhovujúce možnosť je d = 2 ac = 3. Betka si teda hrala s číslom 1032 a jej výpočet vyzeral takto:
1 0 3 2
2 3 0 1
----------
3 3 3 3
Z vyššie uvedeného je teraz jednoduché doplniť nejaké iné číslo s uvedenými vlastnosťami, teda nejaké Eričino číslo. Napr. stačí v Bětčině čísle zameniť číslica na mieste jednotiek a tisícoviek alebo číslice na mieste desiatok a stoviek, príp. uvažovať akékoľvek čísla tvaru (4). Medzi možnými riešeniami sú tiež čísla, kedy súčet c + b je väčšia než 9. Tu je niekoľko riešení, na ktoré mohla Erika prísť, keby nebola však tak netrpezlivá:
1 0 4 3
3 4 0 1
----------
4 4 4 4
1 3 0 2
2 0 3 1
----------
3 3 3 3
1 8 9 7
7 9 8 1
----------
9 8 7 8
Poznámky. a) Ak vieme zdôvodniť, že hľadané Betkine číslo musí byť aspoň štvormiestne, potom je možné ľahko nájsť skúšaním:
Najmenšie štvormiestne číslo s navzájom rôznymi číslicami je 1023. Toto číslo však nie je riešením, pretože 1023 + 3201 = 4224. Ak nás napadne prehodiť číslica 2 a 3, dostaneme vyhovujúce riešenie: 1032 + 2301 = 3333. Aby sme sa presvedčili, že toto riešenie je najmenšie možné, stačí overiť, že žiadne číslo medzi 1023 a 1032 nevyhovuje niektoré z uvedených podmienok.
b) Nahradenie ostatných úvah skúšaním je tiež možné, avšak často veľmi prácné. Avšak ak je riešenie založené na skúšaní úplné, nech je považované za správne.
Akékoľvek čiastkové všeobecné postrehy môžu počet možností k preskúšaniu zaujímavo znižovať (napr. Počet trojíc rôznych čísiel od 1 do 9 vyhovujúcich rovnosti (1) určite nie je väčší ako 32.
Možné riešenie. Najprv nájdeme Betkine číslo, tj. najmenšie číslo s uvedenými vlastnosťami.
1) Predpokladajme, že Betkine číslo je jednomiestne, a označíme si ich a. Potom by podľa zadania muselo platiť a + a = a, čo platí len v prípade a = 0. Nula však nie je prirodzené číslo, takže Betkine myslenej číslo nemôže byť jednomiestne.
2) Predpokladajme, že Betkine číslo je dvojmiestne, a označíme si ich ab. Či už súčet ab + ba dopadne akokoľvek, na mieste jednotiek čítame buď b + a = a, alebo b + a = b. Odtiaľ dostávame buď b = 0, alebo a = 0. V takom prípade by však buď číslo ba, alebo číslo ab nebolo dvojciferné. Betkine myslené číslo teda nemôže byť dvojmiestne.
3) Predpokladajme, že Betkine číslo je trojmiestne, a označíme si ich abc. Z rovnakého dôvodu ako vyššie nemôžu byť čísla aac nuly, teda v súčte abc + cba sa na mieste jednotiek môže objaviť jedine b:
a b c
c b a
____
* * b
Súčasne c + a nemôže byť väčšia ako 9, pretože potom by celkový súčet abc + cba nebol trojmiestny. Odtiaľ sa dozvedáme, že a + c = b čo okrem iného znamená, že ani číslica b nemôže byť 0. Odtiaľ vyplýva, že súčet b + b na mieste desiatok nemôže byť menšia ako 10; v takom prípade by tento súčet bol rovný jednému z čísel a, b, c, čo vždy vedie k nejakému sporu s predchádzajúcimi poznatkami:
Ak b + b = a alebo b + b = c, potom podľa (1) dostávame 2a + 2c = a alebo 2a + 2c = c, teda a = -2C alebo c = -2a, čo nie je možné.
• Ak b + b = b, potom b = 0, čo nie je možné.
Súčet b + b na mieste desiatok však nemôže byť ani väčšia než 9. V takom prípade by súčet na mieste stoviek bol a + c + 1 a toto číslo má byť presne jednému z čísel a, b, c; to vždy vedie k nejakému sporu:
• Ak a + c + 1 = a alebo a + c + 1 = c, potom c = -1 alebo a = -1, čo nie je možné.
• Ak a + c + 1 = b, potom podľa (1) dostávame b + 1 = b, teda 1 = 0, čo nie je možné.
Betkine myslené číslo teda nemôže byť ani trojmiestne.
4) Predpokladajme, že Betkine číslo je štvormiestne, a označíme si ich abcd. Z rovnakého dôvodu ako vyššie nemôžu byť čísla aad nuly, teda v súčte abcd + dcba sa na mieste jednotiek môže objaviť buď b, alebo c:
a b c d
d c b a
----------
* * * b
a b c d
d c b a
----------
* * * c
Súčasne d + a nemôže byť väčšia ako 9, pretože potom by celkový súčet abcd + DCBA nebol štvormiestny. Odtiaľ sa dozvedáme, že
buď a + d = b, (dalej len 2)
alebo a + d = c. (dalej len 3)
To okrem iného znamená, že buď b <> 0, alebo c <> 0.
Teraz predpokladáme, že súčet c + b na mieste desiatok je menšia ako 10, tzn. tento súčet je rovný jednému z čísel a, b, c, d, a preskúmame jednotlivé prípady. Najprv uvažujme platnosť (2), a teda b <> 0:
• Ak b + c = a alebo b + c = d, potom podľa (2) dostávame a + d + c = a alebo a + d + c = d, teda c = -d alebo c = -a, čo nie je možné .
• Ak b + c = b, potom c = 0 (čo ničomu nevadí).
• Ak b + c = c, potom b = 0, čo nie je možné.
Podobne, za predpokladu (3) zistíme, že jediná prípustná možnosť je b + c = c, teda b = 0
Celkom tak objavujeme dva možné prípady:
a b 0 d
d 0 b a
----------
b b b b
a 0 c d
d c 0 a
----------
c c c c
Pretože Betkine číslo je najmenšie číslo vyhovujúce všetkým uvedeným podmienkam, vôbec sa nemusíme zaoberať prípadom, kedy súčet c + b je väčší ako 9, a sústredíme sa výhradne na druhú z vyššie menovaných možností, tj. B = 0. Dosadíme najmenšie možné číslo na miesto tisícok a = 1 a zisťujeme, že c = d + 1. Najmenší vyhovujúce možnosť je d = 2 ac = 3. Betka si teda hrala s číslom 1032 a jej výpočet vyzeral takto:
1 0 3 2
2 3 0 1
----------
3 3 3 3
Z vyššie uvedeného je teraz jednoduché doplniť nejaké iné číslo s uvedenými vlastnosťami, teda nejaké Eričino číslo. Napr. stačí v Bětčině čísle zameniť číslica na mieste jednotiek a tisícoviek alebo číslice na mieste desiatok a stoviek, príp. uvažovať akékoľvek čísla tvaru (4). Medzi možnými riešeniami sú tiež čísla, kedy súčet c + b je väčšia než 9. Tu je niekoľko riešení, na ktoré mohla Erika prísť, keby nebola však tak netrpezlivá:
1 0 4 3
3 4 0 1
----------
4 4 4 4
1 3 0 2
2 0 3 1
----------
3 3 3 3
1 8 9 7
7 9 8 1
----------
9 8 7 8
Poznámky. a) Ak vieme zdôvodniť, že hľadané Betkine číslo musí byť aspoň štvormiestne, potom je možné ľahko nájsť skúšaním:
Najmenšie štvormiestne číslo s navzájom rôznymi číslicami je 1023. Toto číslo však nie je riešením, pretože 1023 + 3201 = 4224. Ak nás napadne prehodiť číslica 2 a 3, dostaneme vyhovujúce riešenie: 1032 + 2301 = 3333. Aby sme sa presvedčili, že toto riešenie je najmenšie možné, stačí overiť, že žiadne číslo medzi 1023 a 1032 nevyhovuje niektoré z uvedených podmienok.
b) Nahradenie ostatných úvah skúšaním je tiež možné, avšak často veľmi prácné. Avšak ak je riešenie založené na skúšaní úplné, nech je považované za správne.
Akékoľvek čiastkové všeobecné postrehy môžu počet možností k preskúšaniu zaujímavo znižovať (napr. Počet trojíc rôznych čísiel od 1 do 9 vyhovujúcich rovnosti (1) určite nie je väčší ako 32.
Na vyriešenie tejto úlohy sú potrebné tieto znalosti z matematiky:
Téma:
Úroveň náročnosti úlohy:
Súvisiace a podobné príklady:
- Priklad – 8. rocnik (asi MO)
Adam napı́sal nasledujúci súčet s piatimi tajnými sčı́tancami: a + bb + ccc + dddd + eeeee. Prezradil, že znaky „a, b, c, d, e“ predstavujú navzájom rôzne cifry 1, 2, 3, 4, 5 a že výsledný súčet je deliteľný 11. Ktoré najmenšie a ktoré na - Súčet veľa nepárnych
Určite súčet všetkých kladných nepárnych čísel menších ako 78 - Vypočítaj 440
Vypočítaj v stupňoch veľkosť ostrého uhla, ktorý zvierajú ručičky hodín o pol šiestej. - Uvedených 82574
Do krúžku chodí 29 detí. 11 uviedlo, že má doma psa, 14 detí má doma mačku a 12 detí má doma škrečka. Dve deti majú všetky tri zvieratká. 7 detí nemá doma žiadne zviera. . Koľko detí má aspoň dve z uvedených zvierat? Koľko detí má práve jedno z uvedených - V rade 2
V rade je 10 stromov a rovnaké medzery x=3 metrov. Koľko metrov prejde človek, ak na jeden raz poleje dva stromy - Štvorizbových 82265
V jednom panelovom dome je 13 poschodí a 7 vchodov. V každom vchode sú v každom z deviatich poschodí 2 trojizbové a 1 dvojizbový byt, vo zvyšných štyroch poschodiach je na každom poschodí vždy 1 štvorizbový a 2 dvoch izbové byty. Vypočítajte, koľko je v t - Tri kocky hod
Aká je pracdepodnosť, že pri hode troma kockami, padne účet menší ako 7? - Amálka
Amálka má toľko bratov ako sestier. Jej brat Ivan má 3 sestry. Koľko deti je v ich rodine? - Nikola
Nikola mala v zošite napísané jedno trojciferne a jedno dvojciferné číslo. Každé z týchto čísel bolo tvorené navzájom rôznymi číslicami. Rozdiel Nikolinych čísel bol 976. Aký bol ich súčet? - V miske 3
V miske bolo 10 jabĺk. Vo vedierku bolo 35 jabĺk. Ivan preložil z vedierka do misky 15 jabĺk. Z misky si potom zobrala Zora 4 jablká. Mama zo zvyšných jabĺk v miske zobrala 2/3 na koláč. Koĺko jabĺk ostalo v miske? - Podkrovie
Nedávno som upratoval podkrovie a našiel som sadu najmenej 14 palíc, ktoré mi pred pár rokmi predal jeden zvedavý Talian. Keď som sa usilovne snažil prísť na to, prečo som to od neho kúpil, uvedomil som si, že sada má tú neuveriteľnú vlastnosť, že neexist - 2-3-6-15-42- 62474
Rad čísel bol vytvorený podľa určitého kľúča. Odhaľte ho a doplňte dve posledné chýbajúce čísla. 2-3-6-15-42-? -? - Vyjadrite 62294
Čísla 18, 28, 32, 40, 48, 200 vyjadrite ako číselné výrazy zložené presne z 5 dvojiek. - Určte 6
Určte zvyšné veličiny v konečnej geometrickej postupnosti, ak je dané: n = 4, an = 12,5, sn = 187,5, a1=?, q=? - Troma kockami
Aká je pravdepodobnosť, že pri hode tromi hracími kockami (B, M, Z) bude súčet bodiek 14? - Lukáš 4
Lukáš a Laco si vymieňali známky. Lukáš mal pred výmenou o 25 známok viac ako Laco. Po výmene mal viac známok Laco. Najmenej koľko známok dostal Laco od Lukáša? - Ôsmaci
Ôsmaci sa počas štyroch dní zúčastnili vysádzania stromčekov v lese. V pondelok vysadili štvrtinu všetkých stromčekov, ktoré mali vysadiť. V utorok vysadili tretinu toho, čo im zostalo z pondelka. V stredu polovicu z toho, čo nestihli vysadiť v utorok. Ak