Betka
Betka si myslela prirodzené číslo s navzájom rôznymi ciframi a napísala ho na tabuľu.
Podeň zapísala cifry pôvodného čísla odzadu a tak získala nové číslo. Sčítaním týchto dvoch čísel dostala číslo, ktoré malo rovnaký počet cifier ako myslené číslo a skladalo sa iba z cifier mysleného čísla (avšak nemuselo obsahovať všetky jeho cifry). Erike sa Betkino číslo zapáčilo a chcela nájsť iné číslo s rovnakými vlastnosťami. Zistila, že neexistuje menšie také číslo ako
Betkino a väčšie sa jej hľadať nechcelo. Určte, aké číslo si myslela Betka a aké číslo by mohla nájsť Erika, keby mala viac trpezlivosti.
Podeň zapísala cifry pôvodného čísla odzadu a tak získala nové číslo. Sčítaním týchto dvoch čísel dostala číslo, ktoré malo rovnaký počet cifier ako myslené číslo a skladalo sa iba z cifier mysleného čísla (avšak nemuselo obsahovať všetky jeho cifry). Erike sa Betkino číslo zapáčilo a chcela nájsť iné číslo s rovnakými vlastnosťami. Zistila, že neexistuje menšie také číslo ako
Betkino a väčšie sa jej hľadať nechcelo. Určte, aké číslo si myslela Betka a aké číslo by mohla nájsť Erika, keby mala viac trpezlivosti.
Správna odpoveď:
Zobrazujem 1 komentár:
Peter2
Nápoveda. Zvážte postupne možnosti, kedy je myslené číslo jednomiestne, dvojmiestne atď. V jednotlivých prípadoch premýšľajte postupne nad možnými súčty na mieste jednotiek, desiatok atď.
Možné riešenie. Najprv nájdeme Betkine číslo, tj. najmenšie číslo s uvedenými vlastnosťami.
1) Predpokladajme, že Betkine číslo je jednomiestne, a označíme si ich a. Potom by podľa zadania muselo platiť a + a = a, čo platí len v prípade a = 0. Nula však nie je prirodzené číslo, takže Betkine myslenej číslo nemôže byť jednomiestne.
2) Predpokladajme, že Betkine číslo je dvojmiestne, a označíme si ich ab. Či už súčet ab + ba dopadne akokoľvek, na mieste jednotiek čítame buď b + a = a, alebo b + a = b. Odtiaľ dostávame buď b = 0, alebo a = 0. V takom prípade by však buď číslo ba, alebo číslo ab nebolo dvojciferné. Betkine myslené číslo teda nemôže byť dvojmiestne.
3) Predpokladajme, že Betkine číslo je trojmiestne, a označíme si ich abc. Z rovnakého dôvodu ako vyššie nemôžu byť čísla aac nuly, teda v súčte abc + cba sa na mieste jednotiek môže objaviť jedine b:
a b c
c b a
____
* * b
Súčasne c + a nemôže byť väčšia ako 9, pretože potom by celkový súčet abc + cba nebol trojmiestny. Odtiaľ sa dozvedáme, že a + c = b čo okrem iného znamená, že ani číslica b nemôže byť 0. Odtiaľ vyplýva, že súčet b + b na mieste desiatok nemôže byť menšia ako 10; v takom prípade by tento súčet bol rovný jednému z čísel a, b, c, čo vždy vedie k nejakému sporu s predchádzajúcimi poznatkami:
Ak b + b = a alebo b + b = c, potom podľa (1) dostávame 2a + 2c = a alebo 2a + 2c = c, teda a = -2C alebo c = -2a, čo nie je možné.
• Ak b + b = b, potom b = 0, čo nie je možné.
Súčet b + b na mieste desiatok však nemôže byť ani väčšia než 9. V takom prípade by súčet na mieste stoviek bol a + c + 1 a toto číslo má byť presne jednému z čísel a, b, c; to vždy vedie k nejakému sporu:
• Ak a + c + 1 = a alebo a + c + 1 = c, potom c = -1 alebo a = -1, čo nie je možné.
• Ak a + c + 1 = b, potom podľa (1) dostávame b + 1 = b, teda 1 = 0, čo nie je možné.
Betkine myslené číslo teda nemôže byť ani trojmiestne.
4) Predpokladajme, že Betkine číslo je štvormiestne, a označíme si ich abcd. Z rovnakého dôvodu ako vyššie nemôžu byť čísla aad nuly, teda v súčte abcd + dcba sa na mieste jednotiek môže objaviť buď b, alebo c:
a b c d
d c b a
----------
* * * b
a b c d
d c b a
----------
* * * c
Súčasne d + a nemôže byť väčšia ako 9, pretože potom by celkový súčet abcd + DCBA nebol štvormiestny. Odtiaľ sa dozvedáme, že
buď a + d = b, (dalej len 2)
alebo a + d = c. (dalej len 3)
To okrem iného znamená, že buď b <> 0, alebo c <> 0.
Teraz predpokladáme, že súčet c + b na mieste desiatok je menšia ako 10, tzn. tento súčet je rovný jednému z čísel a, b, c, d, a preskúmame jednotlivé prípady. Najprv uvažujme platnosť (2), a teda b <> 0:
• Ak b + c = a alebo b + c = d, potom podľa (2) dostávame a + d + c = a alebo a + d + c = d, teda c = -d alebo c = -a, čo nie je možné .
• Ak b + c = b, potom c = 0 (čo ničomu nevadí).
• Ak b + c = c, potom b = 0, čo nie je možné.
Podobne, za predpokladu (3) zistíme, že jediná prípustná možnosť je b + c = c, teda b = 0
Celkom tak objavujeme dva možné prípady:
a b 0 d
d 0 b a
----------
b b b b
a 0 c d
d c 0 a
----------
c c c c
Pretože Betkine číslo je najmenšie číslo vyhovujúce všetkým uvedeným podmienkam, vôbec sa nemusíme zaoberať prípadom, kedy súčet c + b je väčší ako 9, a sústredíme sa výhradne na druhú z vyššie menovaných možností, tj. B = 0. Dosadíme najmenšie možné číslo na miesto tisícok a = 1 a zisťujeme, že c = d + 1. Najmenší vyhovujúce možnosť je d = 2 ac = 3. Betka si teda hrala s číslom 1032 a jej výpočet vyzeral takto:
1 0 3 2
2 3 0 1
----------
3 3 3 3
Z vyššie uvedeného je teraz jednoduché doplniť nejaké iné číslo s uvedenými vlastnosťami, teda nejaké Eričino číslo. Napr. stačí v Bětčině čísle zameniť číslica na mieste jednotiek a tisícoviek alebo číslice na mieste desiatok a stoviek, príp. uvažovať akékoľvek čísla tvaru (4). Medzi možnými riešeniami sú tiež čísla, kedy súčet c + b je väčšia než 9. Tu je niekoľko riešení, na ktoré mohla Erika prísť, keby nebola však tak netrpezlivá:
1 0 4 3
3 4 0 1
----------
4 4 4 4
1 3 0 2
2 0 3 1
----------
3 3 3 3
1 8 9 7
7 9 8 1
----------
9 8 7 8
Poznámky. a) Ak vieme zdôvodniť, že hľadané Betkine číslo musí byť aspoň štvormiestne, potom je možné ľahko nájsť skúšaním:
Najmenšie štvormiestne číslo s navzájom rôznymi číslicami je 1023. Toto číslo však nie je riešením, pretože 1023 + 3201 = 4224. Ak nás napadne prehodiť číslica 2 a 3, dostaneme vyhovujúce riešenie: 1032 + 2301 = 3333. Aby sme sa presvedčili, že toto riešenie je najmenšie možné, stačí overiť, že žiadne číslo medzi 1023 a 1032 nevyhovuje niektoré z uvedených podmienok.
b) Nahradenie ostatných úvah skúšaním je tiež možné, avšak často veľmi prácné. Avšak ak je riešenie založené na skúšaní úplné, nech je považované za správne.
Akékoľvek čiastkové všeobecné postrehy môžu počet možností k preskúšaniu zaujímavo znižovať (napr. Počet trojíc rôznych čísiel od 1 do 9 vyhovujúcich rovnosti (1) určite nie je väčší ako 32.
Možné riešenie. Najprv nájdeme Betkine číslo, tj. najmenšie číslo s uvedenými vlastnosťami.
1) Predpokladajme, že Betkine číslo je jednomiestne, a označíme si ich a. Potom by podľa zadania muselo platiť a + a = a, čo platí len v prípade a = 0. Nula však nie je prirodzené číslo, takže Betkine myslenej číslo nemôže byť jednomiestne.
2) Predpokladajme, že Betkine číslo je dvojmiestne, a označíme si ich ab. Či už súčet ab + ba dopadne akokoľvek, na mieste jednotiek čítame buď b + a = a, alebo b + a = b. Odtiaľ dostávame buď b = 0, alebo a = 0. V takom prípade by však buď číslo ba, alebo číslo ab nebolo dvojciferné. Betkine myslené číslo teda nemôže byť dvojmiestne.
3) Predpokladajme, že Betkine číslo je trojmiestne, a označíme si ich abc. Z rovnakého dôvodu ako vyššie nemôžu byť čísla aac nuly, teda v súčte abc + cba sa na mieste jednotiek môže objaviť jedine b:
a b c
c b a
____
* * b
Súčasne c + a nemôže byť väčšia ako 9, pretože potom by celkový súčet abc + cba nebol trojmiestny. Odtiaľ sa dozvedáme, že a + c = b čo okrem iného znamená, že ani číslica b nemôže byť 0. Odtiaľ vyplýva, že súčet b + b na mieste desiatok nemôže byť menšia ako 10; v takom prípade by tento súčet bol rovný jednému z čísel a, b, c, čo vždy vedie k nejakému sporu s predchádzajúcimi poznatkami:
Ak b + b = a alebo b + b = c, potom podľa (1) dostávame 2a + 2c = a alebo 2a + 2c = c, teda a = -2C alebo c = -2a, čo nie je možné.
• Ak b + b = b, potom b = 0, čo nie je možné.
Súčet b + b na mieste desiatok však nemôže byť ani väčšia než 9. V takom prípade by súčet na mieste stoviek bol a + c + 1 a toto číslo má byť presne jednému z čísel a, b, c; to vždy vedie k nejakému sporu:
• Ak a + c + 1 = a alebo a + c + 1 = c, potom c = -1 alebo a = -1, čo nie je možné.
• Ak a + c + 1 = b, potom podľa (1) dostávame b + 1 = b, teda 1 = 0, čo nie je možné.
Betkine myslené číslo teda nemôže byť ani trojmiestne.
4) Predpokladajme, že Betkine číslo je štvormiestne, a označíme si ich abcd. Z rovnakého dôvodu ako vyššie nemôžu byť čísla aad nuly, teda v súčte abcd + dcba sa na mieste jednotiek môže objaviť buď b, alebo c:
a b c d
d c b a
----------
* * * b
a b c d
d c b a
----------
* * * c
Súčasne d + a nemôže byť väčšia ako 9, pretože potom by celkový súčet abcd + DCBA nebol štvormiestny. Odtiaľ sa dozvedáme, že
buď a + d = b, (dalej len 2)
alebo a + d = c. (dalej len 3)
To okrem iného znamená, že buď b <> 0, alebo c <> 0.
Teraz predpokladáme, že súčet c + b na mieste desiatok je menšia ako 10, tzn. tento súčet je rovný jednému z čísel a, b, c, d, a preskúmame jednotlivé prípady. Najprv uvažujme platnosť (2), a teda b <> 0:
• Ak b + c = a alebo b + c = d, potom podľa (2) dostávame a + d + c = a alebo a + d + c = d, teda c = -d alebo c = -a, čo nie je možné .
• Ak b + c = b, potom c = 0 (čo ničomu nevadí).
• Ak b + c = c, potom b = 0, čo nie je možné.
Podobne, za predpokladu (3) zistíme, že jediná prípustná možnosť je b + c = c, teda b = 0
Celkom tak objavujeme dva možné prípady:
a b 0 d
d 0 b a
----------
b b b b
a 0 c d
d c 0 a
----------
c c c c
Pretože Betkine číslo je najmenšie číslo vyhovujúce všetkým uvedeným podmienkam, vôbec sa nemusíme zaoberať prípadom, kedy súčet c + b je väčší ako 9, a sústredíme sa výhradne na druhú z vyššie menovaných možností, tj. B = 0. Dosadíme najmenšie možné číslo na miesto tisícok a = 1 a zisťujeme, že c = d + 1. Najmenší vyhovujúce možnosť je d = 2 ac = 3. Betka si teda hrala s číslom 1032 a jej výpočet vyzeral takto:
1 0 3 2
2 3 0 1
----------
3 3 3 3
Z vyššie uvedeného je teraz jednoduché doplniť nejaké iné číslo s uvedenými vlastnosťami, teda nejaké Eričino číslo. Napr. stačí v Bětčině čísle zameniť číslica na mieste jednotiek a tisícoviek alebo číslice na mieste desiatok a stoviek, príp. uvažovať akékoľvek čísla tvaru (4). Medzi možnými riešeniami sú tiež čísla, kedy súčet c + b je väčšia než 9. Tu je niekoľko riešení, na ktoré mohla Erika prísť, keby nebola však tak netrpezlivá:
1 0 4 3
3 4 0 1
----------
4 4 4 4
1 3 0 2
2 0 3 1
----------
3 3 3 3
1 8 9 7
7 9 8 1
----------
9 8 7 8
Poznámky. a) Ak vieme zdôvodniť, že hľadané Betkine číslo musí byť aspoň štvormiestne, potom je možné ľahko nájsť skúšaním:
Najmenšie štvormiestne číslo s navzájom rôznymi číslicami je 1023. Toto číslo však nie je riešením, pretože 1023 + 3201 = 4224. Ak nás napadne prehodiť číslica 2 a 3, dostaneme vyhovujúce riešenie: 1032 + 2301 = 3333. Aby sme sa presvedčili, že toto riešenie je najmenšie možné, stačí overiť, že žiadne číslo medzi 1023 a 1032 nevyhovuje niektoré z uvedených podmienok.
b) Nahradenie ostatných úvah skúšaním je tiež možné, avšak často veľmi prácné. Avšak ak je riešenie založené na skúšaní úplné, nech je považované za správne.
Akékoľvek čiastkové všeobecné postrehy môžu počet možností k preskúšaniu zaujímavo znižovať (napr. Počet trojíc rôznych čísiel od 1 do 9 vyhovujúcich rovnosti (1) určite nie je väčší ako 32.
Na vyriešenie tejto úlohy sú potrebné tieto znalosti z matematiky:
Téma:
Úroveň náročnosti úlohy:
Súvisiace a podobné príklady:
- Trojuholníkov 83111
Peťo zložil z navzájom zhodných trojuholníkov niekoľko rovinných útvarov. Obvody prvých troch sú postupne 8 cm, 11,4 cm a 14,7 cm. Určite obvod štvrtého útvaru - Priklad – 8. rocnik (asi MO)
Adam napı́sal nasledujúci súčet s piatimi tajnými sčı́tancami: a + bb + ccc + dddd + eeeee. Prezradil, že znaky „a, b, c, d, e“ predstavujú navzájom rôzne cifry 1, 2, 3, 4, 5 a že výsledný súčet je deliteľný 11. Ktoré najmenšie a ktoré na - Mo z5 2023 psy
Anetkin strýko má narodeniny v rovnaký deň v roku ako Anetkin teta. Strýko je starší ako teta, nie však o viac ako o desať rokov, a obaja sú plnoletí. Na poslednej oslave ich narodenín si Anetka uvedomila, že keď vynásobí ich oslavované veky a výsledný sú - Trojuholník MO Z8-I-5
Trojuholník ABC je rozdelený úsečkami. Úsečky DE a AB sú rovnobežné. Trojuholníky CDH, CHI, CIE, FIH majú rovnaký obsah a to 8 dm². Zistite obsah štvoruholníka AFHD. - Zajac 2024m
Zajac sa zúčastnil na pretekoch dlhých 2024 metrov. Zo štartovej čiary sa odrazil ľavou nohou a po celý čas pretekov pravidelne striedal ľavú, pravú a obe nohy. Keď sa zajac odrazil ľavou nohou, skočil 35 dm, keď sa odrazil pravou nohou, skočil 15 - Karol 9
Karol mal vynásobiť dve dvojciferné čísla. Z nepozornosti vymenil poradie cifier v jednom z činiteľov a dostal súčin, ktorý bol o 4 248 menší ako správny výsledok. Aký je správny výsledok? Koľko malo Karolovi správne vyjsť? - MO 2023
V záhradkarskej osade mal pán Jahoda vo svojom sude 16.litrov vody. Sused Malina mal vo svojom sude tri krát viac vody, ako pán Jahoda. Začalo pršať a do oboch sudov napršalo rovnaké množstvo vody. Po daždi pán Malina zistil, že má v sude dvakrát viac vod - Adam mal 3
Adam mal papier, ktorý bol natoľko veľký, že by sa z neho dalo natrhať niekoľko desiatok tisíc kúskov. Najprv papier roztrhal na štyri kúsky. Každý z týchto kú skov vzal a roztrhal buď na štyri, alebo na desať kúskov. Rovnakým spôsobom pokračo - Skautskom MO 2023 z8
V minulom roku bolo v našom skautskom oddiele o 30 chlapcov viac ako dievčat. Tento rok sa počet detí v oddiele zväčšil o 10%, pričom počet chlapcov sa zväčšil o 5% a počet dievčat sa zväčšil o 20%. Koľko detí máme tento rok v oddiele? - Odpočítajú 82333
Myslím si tri čísla, keď ich sčítam dostanem 16, keď od súčtu prvých dvoch čísel odpočítajú tretie dostanem 10, keď od súčtu prvého a tretieho čísla odčítajú druhé dostanem 8. Ktoré čísla si myslím? - Štvoruholník 14
Daný je štvorec ABCD. Stred AB je E, stred BC je F, CD je G a stred DA je H. Spojíme AF, BG, CH a DE. Vo vnútri štvorca (približne v strede) priesečníky týchto úsečiek vytvoria štvoruholník. Vypočítajte obsah tohto štvoruholníka. Ďakujem - MO Z6-I-3 2022
Magda si vystrihla dva rovnaké rovnoramenné trojuholníky, z ktorých každý mal obvod 100 cm. Najprv z týchto trojuholníkov zložila štvoruholník tak, že ich k sebe priložila ramenami. Potom z nich zložila štvoruholník tak, že ich k sebe priložila základňami - MO z9 2022
Sú dané dva zhodné rovnostranné trojuholníky ABC a BDE tak, že veľkosť uhla ABD je väčšia ako 120° a menšia ako 180° a body C, E ležia v rovnakej polrovine vymedzenej priamkou AD. Priesečník CD a AE je označený F. Určte veľkosť uhla AFD. - SKMO Z9 2022
Vrcholy štvorca ABCD spája lomená čiara DEFGHB. Menšie uhly pri vrcholoch E, F, G, H sú pravé a úsečky DE, EF, FG, GH, HB postupne merajú 6 cm, 4 cm, 4 cm, 1 cm, 2 cm. Určite obsah štvorca ABCD. - MO Z7 2022
Eva si myslela dve prirodzené čísla. Tieto najprv správne sčítala, potom správne odčítala. V obidvoch prípadoch dostala dvojciferný výsledok. Súčin takto vzniknutých dvojciferných čísel bol 645. Ktoré čísla si Eva myslela? Prosím vás aký je tento výsledok - MO 2022
Petra mala napísané prirodzené čísla od 1 do 9. Dve z týchto čísel sčítala, zmazala a výsledný súčet napísala miesto sčítancov. Mala tak napísané osem čísel, ktoré sa jej podarilo rozdeliť do dvoch skupín s rovnakým súčinom. Určite aký najväčší mohol byť - Nikola
Nikola mala v zošite napísané jedno trojciferne a jedno dvojciferné číslo. Každé z týchto čísel bolo tvorené navzájom rôznymi číslicami. Rozdiel Nikolinych čísel bol 976. Aký bol ich súčet?