Betka
Betka si myslela prirodzené číslo s navzájom rôznymi ciframi a napísala ho na tabuľu.
Podeň zapísala cifry pôvodného čísla odzadu a tak získala nové číslo. Sčítaním týchto dvoch čísel dostala číslo, ktoré malo rovnaký počet cifier ako myslené číslo a skladalo sa iba z cifier mysleného čísla (avšak nemuselo obsahovať všetky jeho cifry). Erike sa Betkino číslo zapáčilo a chcela nájsť iné číslo s rovnakými vlastnosťami. Zistila, že neexistuje menšie také číslo ako
Betkino a väčšie sa jej hľadať nechcelo. Určte, aké číslo si myslela Betka a aké číslo by mohla nájsť Erika, keby mala viac trpezlivosti.
Podeň zapísala cifry pôvodného čísla odzadu a tak získala nové číslo. Sčítaním týchto dvoch čísel dostala číslo, ktoré malo rovnaký počet cifier ako myslené číslo a skladalo sa iba z cifier mysleného čísla (avšak nemuselo obsahovať všetky jeho cifry). Erike sa Betkino číslo zapáčilo a chcela nájsť iné číslo s rovnakými vlastnosťami. Zistila, že neexistuje menšie také číslo ako
Betkino a väčšie sa jej hľadať nechcelo. Určte, aké číslo si myslela Betka a aké číslo by mohla nájsť Erika, keby mala viac trpezlivosti.
Správna odpoveď:
Zobrazujem 1 komentár:
Peter2
Nápoveda. Zvážte postupne možnosti, kedy je myslené číslo jednomiestne, dvojmiestne atď. V jednotlivých prípadoch premýšľajte postupne nad možnými súčty na mieste jednotiek, desiatok atď.
Možné riešenie. Najprv nájdeme Betkine číslo, tj. najmenšie číslo s uvedenými vlastnosťami.
1) Predpokladajme, že Betkine číslo je jednomiestne, a označíme si ich a. Potom by podľa zadania muselo platiť a + a = a, čo platí len v prípade a = 0. Nula však nie je prirodzené číslo, takže Betkine myslenej číslo nemôže byť jednomiestne.
2) Predpokladajme, že Betkine číslo je dvojmiestne, a označíme si ich ab. Či už súčet ab + ba dopadne akokoľvek, na mieste jednotiek čítame buď b + a = a, alebo b + a = b. Odtiaľ dostávame buď b = 0, alebo a = 0. V takom prípade by však buď číslo ba, alebo číslo ab nebolo dvojciferné. Betkine myslené číslo teda nemôže byť dvojmiestne.
3) Predpokladajme, že Betkine číslo je trojmiestne, a označíme si ich abc. Z rovnakého dôvodu ako vyššie nemôžu byť čísla aac nuly, teda v súčte abc + cba sa na mieste jednotiek môže objaviť jedine b:
a b c
c b a
____
* * b
Súčasne c + a nemôže byť väčšia ako 9, pretože potom by celkový súčet abc + cba nebol trojmiestny. Odtiaľ sa dozvedáme, že a + c = b čo okrem iného znamená, že ani číslica b nemôže byť 0. Odtiaľ vyplýva, že súčet b + b na mieste desiatok nemôže byť menšia ako 10; v takom prípade by tento súčet bol rovný jednému z čísel a, b, c, čo vždy vedie k nejakému sporu s predchádzajúcimi poznatkami:
Ak b + b = a alebo b + b = c, potom podľa (1) dostávame 2a + 2c = a alebo 2a + 2c = c, teda a = -2C alebo c = -2a, čo nie je možné.
• Ak b + b = b, potom b = 0, čo nie je možné.
Súčet b + b na mieste desiatok však nemôže byť ani väčšia než 9. V takom prípade by súčet na mieste stoviek bol a + c + 1 a toto číslo má byť presne jednému z čísel a, b, c; to vždy vedie k nejakému sporu:
• Ak a + c + 1 = a alebo a + c + 1 = c, potom c = -1 alebo a = -1, čo nie je možné.
• Ak a + c + 1 = b, potom podľa (1) dostávame b + 1 = b, teda 1 = 0, čo nie je možné.
Betkine myslené číslo teda nemôže byť ani trojmiestne.
4) Predpokladajme, že Betkine číslo je štvormiestne, a označíme si ich abcd. Z rovnakého dôvodu ako vyššie nemôžu byť čísla aad nuly, teda v súčte abcd + dcba sa na mieste jednotiek môže objaviť buď b, alebo c:
a b c d
d c b a
----------
* * * b
a b c d
d c b a
----------
* * * c
Súčasne d + a nemôže byť väčšia ako 9, pretože potom by celkový súčet abcd + DCBA nebol štvormiestny. Odtiaľ sa dozvedáme, že
buď a + d = b, (dalej len 2)
alebo a + d = c. (dalej len 3)
To okrem iného znamená, že buď b <> 0, alebo c <> 0.
Teraz predpokladáme, že súčet c + b na mieste desiatok je menšia ako 10, tzn. tento súčet je rovný jednému z čísel a, b, c, d, a preskúmame jednotlivé prípady. Najprv uvažujme platnosť (2), a teda b <> 0:
• Ak b + c = a alebo b + c = d, potom podľa (2) dostávame a + d + c = a alebo a + d + c = d, teda c = -d alebo c = -a, čo nie je možné .
• Ak b + c = b, potom c = 0 (čo ničomu nevadí).
• Ak b + c = c, potom b = 0, čo nie je možné.
Podobne, za predpokladu (3) zistíme, že jediná prípustná možnosť je b + c = c, teda b = 0
Celkom tak objavujeme dva možné prípady:
a b 0 d
d 0 b a
----------
b b b b
a 0 c d
d c 0 a
----------
c c c c
Pretože Betkine číslo je najmenšie číslo vyhovujúce všetkým uvedeným podmienkam, vôbec sa nemusíme zaoberať prípadom, kedy súčet c + b je väčší ako 9, a sústredíme sa výhradne na druhú z vyššie menovaných možností, tj. B = 0. Dosadíme najmenšie možné číslo na miesto tisícok a = 1 a zisťujeme, že c = d + 1. Najmenší vyhovujúce možnosť je d = 2 ac = 3. Betka si teda hrala s číslom 1032 a jej výpočet vyzeral takto:
1 0 3 2
2 3 0 1
----------
3 3 3 3
Z vyššie uvedeného je teraz jednoduché doplniť nejaké iné číslo s uvedenými vlastnosťami, teda nejaké Eričino číslo. Napr. stačí v Bětčině čísle zameniť číslica na mieste jednotiek a tisícoviek alebo číslice na mieste desiatok a stoviek, príp. uvažovať akékoľvek čísla tvaru (4). Medzi možnými riešeniami sú tiež čísla, kedy súčet c + b je väčšia než 9. Tu je niekoľko riešení, na ktoré mohla Erika prísť, keby nebola však tak netrpezlivá:
1 0 4 3
3 4 0 1
----------
4 4 4 4
1 3 0 2
2 0 3 1
----------
3 3 3 3
1 8 9 7
7 9 8 1
----------
9 8 7 8
Poznámky. a) Ak vieme zdôvodniť, že hľadané Betkine číslo musí byť aspoň štvormiestne, potom je možné ľahko nájsť skúšaním:
Najmenšie štvormiestne číslo s navzájom rôznymi číslicami je 1023. Toto číslo však nie je riešením, pretože 1023 + 3201 = 4224. Ak nás napadne prehodiť číslica 2 a 3, dostaneme vyhovujúce riešenie: 1032 + 2301 = 3333. Aby sme sa presvedčili, že toto riešenie je najmenšie možné, stačí overiť, že žiadne číslo medzi 1023 a 1032 nevyhovuje niektoré z uvedených podmienok.
b) Nahradenie ostatných úvah skúšaním je tiež možné, avšak často veľmi prácné. Avšak ak je riešenie založené na skúšaní úplné, nech je považované za správne.
Akékoľvek čiastkové všeobecné postrehy môžu počet možností k preskúšaniu zaujímavo znižovať (napr. Počet trojíc rôznych čísiel od 1 do 9 vyhovujúcich rovnosti (1) určite nie je väčší ako 32.
Možné riešenie. Najprv nájdeme Betkine číslo, tj. najmenšie číslo s uvedenými vlastnosťami.
1) Predpokladajme, že Betkine číslo je jednomiestne, a označíme si ich a. Potom by podľa zadania muselo platiť a + a = a, čo platí len v prípade a = 0. Nula však nie je prirodzené číslo, takže Betkine myslenej číslo nemôže byť jednomiestne.
2) Predpokladajme, že Betkine číslo je dvojmiestne, a označíme si ich ab. Či už súčet ab + ba dopadne akokoľvek, na mieste jednotiek čítame buď b + a = a, alebo b + a = b. Odtiaľ dostávame buď b = 0, alebo a = 0. V takom prípade by však buď číslo ba, alebo číslo ab nebolo dvojciferné. Betkine myslené číslo teda nemôže byť dvojmiestne.
3) Predpokladajme, že Betkine číslo je trojmiestne, a označíme si ich abc. Z rovnakého dôvodu ako vyššie nemôžu byť čísla aac nuly, teda v súčte abc + cba sa na mieste jednotiek môže objaviť jedine b:
a b c
c b a
____
* * b
Súčasne c + a nemôže byť väčšia ako 9, pretože potom by celkový súčet abc + cba nebol trojmiestny. Odtiaľ sa dozvedáme, že a + c = b čo okrem iného znamená, že ani číslica b nemôže byť 0. Odtiaľ vyplýva, že súčet b + b na mieste desiatok nemôže byť menšia ako 10; v takom prípade by tento súčet bol rovný jednému z čísel a, b, c, čo vždy vedie k nejakému sporu s predchádzajúcimi poznatkami:
Ak b + b = a alebo b + b = c, potom podľa (1) dostávame 2a + 2c = a alebo 2a + 2c = c, teda a = -2C alebo c = -2a, čo nie je možné.
• Ak b + b = b, potom b = 0, čo nie je možné.
Súčet b + b na mieste desiatok však nemôže byť ani väčšia než 9. V takom prípade by súčet na mieste stoviek bol a + c + 1 a toto číslo má byť presne jednému z čísel a, b, c; to vždy vedie k nejakému sporu:
• Ak a + c + 1 = a alebo a + c + 1 = c, potom c = -1 alebo a = -1, čo nie je možné.
• Ak a + c + 1 = b, potom podľa (1) dostávame b + 1 = b, teda 1 = 0, čo nie je možné.
Betkine myslené číslo teda nemôže byť ani trojmiestne.
4) Predpokladajme, že Betkine číslo je štvormiestne, a označíme si ich abcd. Z rovnakého dôvodu ako vyššie nemôžu byť čísla aad nuly, teda v súčte abcd + dcba sa na mieste jednotiek môže objaviť buď b, alebo c:
a b c d
d c b a
----------
* * * b
a b c d
d c b a
----------
* * * c
Súčasne d + a nemôže byť väčšia ako 9, pretože potom by celkový súčet abcd + DCBA nebol štvormiestny. Odtiaľ sa dozvedáme, že
buď a + d = b, (dalej len 2)
alebo a + d = c. (dalej len 3)
To okrem iného znamená, že buď b <> 0, alebo c <> 0.
Teraz predpokladáme, že súčet c + b na mieste desiatok je menšia ako 10, tzn. tento súčet je rovný jednému z čísel a, b, c, d, a preskúmame jednotlivé prípady. Najprv uvažujme platnosť (2), a teda b <> 0:
• Ak b + c = a alebo b + c = d, potom podľa (2) dostávame a + d + c = a alebo a + d + c = d, teda c = -d alebo c = -a, čo nie je možné .
• Ak b + c = b, potom c = 0 (čo ničomu nevadí).
• Ak b + c = c, potom b = 0, čo nie je možné.
Podobne, za predpokladu (3) zistíme, že jediná prípustná možnosť je b + c = c, teda b = 0
Celkom tak objavujeme dva možné prípady:
a b 0 d
d 0 b a
----------
b b b b
a 0 c d
d c 0 a
----------
c c c c
Pretože Betkine číslo je najmenšie číslo vyhovujúce všetkým uvedeným podmienkam, vôbec sa nemusíme zaoberať prípadom, kedy súčet c + b je väčší ako 9, a sústredíme sa výhradne na druhú z vyššie menovaných možností, tj. B = 0. Dosadíme najmenšie možné číslo na miesto tisícok a = 1 a zisťujeme, že c = d + 1. Najmenší vyhovujúce možnosť je d = 2 ac = 3. Betka si teda hrala s číslom 1032 a jej výpočet vyzeral takto:
1 0 3 2
2 3 0 1
----------
3 3 3 3
Z vyššie uvedeného je teraz jednoduché doplniť nejaké iné číslo s uvedenými vlastnosťami, teda nejaké Eričino číslo. Napr. stačí v Bětčině čísle zameniť číslica na mieste jednotiek a tisícoviek alebo číslice na mieste desiatok a stoviek, príp. uvažovať akékoľvek čísla tvaru (4). Medzi možnými riešeniami sú tiež čísla, kedy súčet c + b je väčšia než 9. Tu je niekoľko riešení, na ktoré mohla Erika prísť, keby nebola však tak netrpezlivá:
1 0 4 3
3 4 0 1
----------
4 4 4 4
1 3 0 2
2 0 3 1
----------
3 3 3 3
1 8 9 7
7 9 8 1
----------
9 8 7 8
Poznámky. a) Ak vieme zdôvodniť, že hľadané Betkine číslo musí byť aspoň štvormiestne, potom je možné ľahko nájsť skúšaním:
Najmenšie štvormiestne číslo s navzájom rôznymi číslicami je 1023. Toto číslo však nie je riešením, pretože 1023 + 3201 = 4224. Ak nás napadne prehodiť číslica 2 a 3, dostaneme vyhovujúce riešenie: 1032 + 2301 = 3333. Aby sme sa presvedčili, že toto riešenie je najmenšie možné, stačí overiť, že žiadne číslo medzi 1023 a 1032 nevyhovuje niektoré z uvedených podmienok.
b) Nahradenie ostatných úvah skúšaním je tiež možné, avšak často veľmi prácné. Avšak ak je riešenie založené na skúšaní úplné, nech je považované za správne.
Akékoľvek čiastkové všeobecné postrehy môžu počet možností k preskúšaniu zaujímavo znižovať (napr. Počet trojíc rôznych čísiel od 1 do 9 vyhovujúcich rovnosti (1) určite nie je väčší ako 32.
Na vyriešenie tejto úlohy sú potrebné tieto znalosti z matematiky:
Téma:
Úroveň náročnosti úlohy:
Súvisiace a podobné príklady:
- Odpočítajú 82333
Myslím si tri čísla, keď ich sčítam dostanem 16, keď od súčtu prvých dvoch čísel odpočítajú tretie dostanem 10, keď od súčtu prvého a tretieho čísla odčítajú druhé dostanem 8. Ktoré čísla si myslím? - Floor zaokrúhľovanie nadol
V obore reálnych čísel riešte sústavu rovníc: 2x + ⌊y⌋ = 2022, 3y + ⌊2x⌋ = 2023. (⌊a⌋ označuje (dolnú) celú časť reálneho čísla a, t. j. najväčšie celé číslo, ktoré nie je väčšie ako a. Napr. ⌊1,9⌋ = 1 a ⌊−1,1⌋ = −2.) - Určte
Určte počet deväťmiestnych čı́sel, v ktorých sa každá z čı́slic 0 až 9 vyskytuje najviac raz a v ktorých sa súčty čı́slic na 1. až 3. mieste, na 3. až 5. mieste, na 5. až 7. mieste a na 7. až 9. mieste vždy rovnajú 10. Nájdite aj najme - Z8 – I – 1 MO 2019
Zostrojte kosoštvorec ABCD tak, aby jeho uhlopriečka BD mala veľkosť 8 cm a vzdialenosť vrcholu B od priamky AD bola 5 cm. Určte všetky možnosti.
- MO Z9-I-6 2019
Kristína zvolila isté nepárne prirodzené číslo deliteľné tromi. Jakub s Dávidom potom skúmali trojuholníky, ktoré majú obvod v milimetroch rovný Kristínou zvolenému číslu a ktorých strany majú dĺžky v milimetroch vyjadrené navzájom rôznymi celými číslami. - MO C-I-3 2019
Určte všetky dvojice prirodzených čísel A a B, pre ktoré platí, že súčet dvojnásobku najmenšieho spoločného násobku a trojnásobku najväčšieho spoločného deliteľa prirodzených čísel A a B je rovný ich súčinu. - MO B 2019 - uloha 2
Prirodzené číslo n má aspoň 73 dvojciferných deliteľov. Dokážte, že jedným z nich je číslo 60. Uveďte tiež príklad čísla n, ktoré má práve 73 dvojciferných deliteľov, vrátane náležitého zdôvodnenia. - C – I – 3 MO 2018
Nech a, b, c sú kladné reálne čísla, ktorých súčet je 3, a každé z nich je nanajvýš 2. Dokážte, že platí nerovnosť: a2 + b2 + c2 + 3abc < 9 - C – I – 6 MO 2018
Nájdite všetky trojciferné čísla n s tromi rôznymi nenulovými ciframi, ktoré sú deliteľné súčtom všetkých troch dvojciferných čísel, ktoré dostaneme, keď v pôvodnom čísle vyškrtneme vždy jednu cifru.
- C-I-2 2018 MO
Na strane AB trojuholníka ABC sú dané body D a E tak, že |AD| = |DE| = |EB|. Body A a B sú postupne stredmi úsečiek CF a CG. Priamka CD pretína priamku FB v bode I a priamka CE pretína priamku AG v bode J. Dokážte, že priesečník priamok AI a BJ leží na pr - Z6-1-4 MO 2018
Pán Ticháček mal na záhrade troch sadrových trpaslíkov: najväčšieho volal Maško, prostredného Jarko a najmenšieho Fanko. Keďže sa s nimi rád hrával, časom zistil, že keď postaví Fanka na Jarka, sú rovnako vysokí ako Maško. Keď naopak postaví Fanka na Mašk - Z9–I–1 2018 čísla
Nájdite všetky kladné celé čísla x a y, pre ktoré platí: 1/x + 1/y = 1/4 . - Z9 – I – 2 MO 2018
V rovnostrannom trojuholníku ABC je K stredom strany AB, bod L leží v tretine strany BC bližšie bodu C a bod M leží v tretine strany AC bližšie bodu A. Určte, akú časť obsahu trojuholníka ABC zaberá trojuholník KLM. - Posledná cifra
Aké je posledné číslo 2016-tej mocniny čísla 2017?
- C–I–4 MO 2017
Určte najväčšie celé číslo n, pri ktorom možno štvorcovú tabuľku n × n zaplniť prirodzenými číslami od 1 po n² tak, aby v každej jej štvorcovej časti 3 × 3 bola zapísaná aspoň jedna druhá mocnina celého čísla - Z9-I-5 MO 2017 obdlžník
Vnútri obdlžníka ABCD ležia body M a N. Strana AB je 22 cm a kružnica opísaná trojuholníku AND má polomer 10cm a úsečky MA, MD, MN, NB a NC sú navzájom zhodné. Určite dĺžku strany BC. - MO Z9–I–3 - 2017
Roboti Róbert a Hubert skladajú a rozoberajú mlynčeky na kávu. Pritom každý z nich mlynček zloží štyrikrát rýchlejšie, ako ho sám rozoberie. Keď ráno prišli do dielne, niekoľko mlynčekov už tam bolo zložených. O 7:00 začal Hubert skladať a Róbert rozobera