Betka
Betka si myslela prirodzené číslo s navzájom rôznymi ciframi a napísala ho na tabuľu.
Podeň zapísala cifry pôvodného čísla odzadu a tak získala nové číslo. Sčítaním týchto dvoch čísel dostala číslo, ktoré malo rovnaký počet cifier ako myslené číslo a skladalo sa iba z cifier mysleného čísla (avšak nemuselo obsahovať všetky jeho cifry). Erike sa Betkino číslo zapáčilo a chcela nájsť iné číslo s rovnakými vlastnosťami. Zistila, že neexistuje menšie také číslo ako
Betkino a väčšie sa jej hľadať nechcelo. Určte, aké číslo si myslela Betka a aké číslo by mohla nájsť Erika, keby mala viac trpezlivosti.
Podeň zapísala cifry pôvodného čísla odzadu a tak získala nové číslo. Sčítaním týchto dvoch čísel dostala číslo, ktoré malo rovnaký počet cifier ako myslené číslo a skladalo sa iba z cifier mysleného čísla (avšak nemuselo obsahovať všetky jeho cifry). Erike sa Betkino číslo zapáčilo a chcela nájsť iné číslo s rovnakými vlastnosťami. Zistila, že neexistuje menšie také číslo ako
Betkino a väčšie sa jej hľadať nechcelo. Určte, aké číslo si myslela Betka a aké číslo by mohla nájsť Erika, keby mala viac trpezlivosti.
Správna odpoveď:
Zobrazujem 1 komentár:
Peter2
Nápoveda. Zvážte postupne možnosti, kedy je myslené číslo jednomiestne, dvojmiestne atď. V jednotlivých prípadoch premýšľajte postupne nad možnými súčty na mieste jednotiek, desiatok atď.
Možné riešenie. Najprv nájdeme Betkine číslo, tj. najmenšie číslo s uvedenými vlastnosťami.
1) Predpokladajme, že Betkine číslo je jednomiestne, a označíme si ich a. Potom by podľa zadania muselo platiť a + a = a, čo platí len v prípade a = 0. Nula však nie je prirodzené číslo, takže Betkine myslenej číslo nemôže byť jednomiestne.
2) Predpokladajme, že Betkine číslo je dvojmiestne, a označíme si ich ab. Či už súčet ab + ba dopadne akokoľvek, na mieste jednotiek čítame buď b + a = a, alebo b + a = b. Odtiaľ dostávame buď b = 0, alebo a = 0. V takom prípade by však buď číslo ba, alebo číslo ab nebolo dvojciferné. Betkine myslené číslo teda nemôže byť dvojmiestne.
3) Predpokladajme, že Betkine číslo je trojmiestne, a označíme si ich abc. Z rovnakého dôvodu ako vyššie nemôžu byť čísla aac nuly, teda v súčte abc + cba sa na mieste jednotiek môže objaviť jedine b:
a b c
c b a
____
* * b
Súčasne c + a nemôže byť väčšia ako 9, pretože potom by celkový súčet abc + cba nebol trojmiestny. Odtiaľ sa dozvedáme, že a + c = b čo okrem iného znamená, že ani číslica b nemôže byť 0. Odtiaľ vyplýva, že súčet b + b na mieste desiatok nemôže byť menšia ako 10; v takom prípade by tento súčet bol rovný jednému z čísel a, b, c, čo vždy vedie k nejakému sporu s predchádzajúcimi poznatkami:
Ak b + b = a alebo b + b = c, potom podľa (1) dostávame 2a + 2c = a alebo 2a + 2c = c, teda a = -2C alebo c = -2a, čo nie je možné.
• Ak b + b = b, potom b = 0, čo nie je možné.
Súčet b + b na mieste desiatok však nemôže byť ani väčšia než 9. V takom prípade by súčet na mieste stoviek bol a + c + 1 a toto číslo má byť presne jednému z čísel a, b, c; to vždy vedie k nejakému sporu:
• Ak a + c + 1 = a alebo a + c + 1 = c, potom c = -1 alebo a = -1, čo nie je možné.
• Ak a + c + 1 = b, potom podľa (1) dostávame b + 1 = b, teda 1 = 0, čo nie je možné.
Betkine myslené číslo teda nemôže byť ani trojmiestne.
4) Predpokladajme, že Betkine číslo je štvormiestne, a označíme si ich abcd. Z rovnakého dôvodu ako vyššie nemôžu byť čísla aad nuly, teda v súčte abcd + dcba sa na mieste jednotiek môže objaviť buď b, alebo c:
a b c d
d c b a
----------
* * * b
a b c d
d c b a
----------
* * * c
Súčasne d + a nemôže byť väčšia ako 9, pretože potom by celkový súčet abcd + DCBA nebol štvormiestny. Odtiaľ sa dozvedáme, že
buď a + d = b, (dalej len 2)
alebo a + d = c. (dalej len 3)
To okrem iného znamená, že buď b <> 0, alebo c <> 0.
Teraz predpokladáme, že súčet c + b na mieste desiatok je menšia ako 10, tzn. tento súčet je rovný jednému z čísel a, b, c, d, a preskúmame jednotlivé prípady. Najprv uvažujme platnosť (2), a teda b <> 0:
• Ak b + c = a alebo b + c = d, potom podľa (2) dostávame a + d + c = a alebo a + d + c = d, teda c = -d alebo c = -a, čo nie je možné .
• Ak b + c = b, potom c = 0 (čo ničomu nevadí).
• Ak b + c = c, potom b = 0, čo nie je možné.
Podobne, za predpokladu (3) zistíme, že jediná prípustná možnosť je b + c = c, teda b = 0
Celkom tak objavujeme dva možné prípady:
a b 0 d
d 0 b a
----------
b b b b
a 0 c d
d c 0 a
----------
c c c c
Pretože Betkine číslo je najmenšie číslo vyhovujúce všetkým uvedeným podmienkam, vôbec sa nemusíme zaoberať prípadom, kedy súčet c + b je väčší ako 9, a sústredíme sa výhradne na druhú z vyššie menovaných možností, tj. B = 0. Dosadíme najmenšie možné číslo na miesto tisícok a = 1 a zisťujeme, že c = d + 1. Najmenší vyhovujúce možnosť je d = 2 ac = 3. Betka si teda hrala s číslom 1032 a jej výpočet vyzeral takto:
1 0 3 2
2 3 0 1
----------
3 3 3 3
Z vyššie uvedeného je teraz jednoduché doplniť nejaké iné číslo s uvedenými vlastnosťami, teda nejaké Eričino číslo. Napr. stačí v Bětčině čísle zameniť číslica na mieste jednotiek a tisícoviek alebo číslice na mieste desiatok a stoviek, príp. uvažovať akékoľvek čísla tvaru (4). Medzi možnými riešeniami sú tiež čísla, kedy súčet c + b je väčšia než 9. Tu je niekoľko riešení, na ktoré mohla Erika prísť, keby nebola však tak netrpezlivá:
1 0 4 3
3 4 0 1
----------
4 4 4 4
1 3 0 2
2 0 3 1
----------
3 3 3 3
1 8 9 7
7 9 8 1
----------
9 8 7 8
Poznámky. a) Ak vieme zdôvodniť, že hľadané Betkine číslo musí byť aspoň štvormiestne, potom je možné ľahko nájsť skúšaním:
Najmenšie štvormiestne číslo s navzájom rôznymi číslicami je 1023. Toto číslo však nie je riešením, pretože 1023 + 3201 = 4224. Ak nás napadne prehodiť číslica 2 a 3, dostaneme vyhovujúce riešenie: 1032 + 2301 = 3333. Aby sme sa presvedčili, že toto riešenie je najmenšie možné, stačí overiť, že žiadne číslo medzi 1023 a 1032 nevyhovuje niektoré z uvedených podmienok.
b) Nahradenie ostatných úvah skúšaním je tiež možné, avšak často veľmi prácné. Avšak ak je riešenie založené na skúšaní úplné, nech je považované za správne.
Akékoľvek čiastkové všeobecné postrehy môžu počet možností k preskúšaniu zaujímavo znižovať (napr. Počet trojíc rôznych čísiel od 1 do 9 vyhovujúcich rovnosti (1) určite nie je väčší ako 32.
Možné riešenie. Najprv nájdeme Betkine číslo, tj. najmenšie číslo s uvedenými vlastnosťami.
1) Predpokladajme, že Betkine číslo je jednomiestne, a označíme si ich a. Potom by podľa zadania muselo platiť a + a = a, čo platí len v prípade a = 0. Nula však nie je prirodzené číslo, takže Betkine myslenej číslo nemôže byť jednomiestne.
2) Predpokladajme, že Betkine číslo je dvojmiestne, a označíme si ich ab. Či už súčet ab + ba dopadne akokoľvek, na mieste jednotiek čítame buď b + a = a, alebo b + a = b. Odtiaľ dostávame buď b = 0, alebo a = 0. V takom prípade by však buď číslo ba, alebo číslo ab nebolo dvojciferné. Betkine myslené číslo teda nemôže byť dvojmiestne.
3) Predpokladajme, že Betkine číslo je trojmiestne, a označíme si ich abc. Z rovnakého dôvodu ako vyššie nemôžu byť čísla aac nuly, teda v súčte abc + cba sa na mieste jednotiek môže objaviť jedine b:
a b c
c b a
____
* * b
Súčasne c + a nemôže byť väčšia ako 9, pretože potom by celkový súčet abc + cba nebol trojmiestny. Odtiaľ sa dozvedáme, že a + c = b čo okrem iného znamená, že ani číslica b nemôže byť 0. Odtiaľ vyplýva, že súčet b + b na mieste desiatok nemôže byť menšia ako 10; v takom prípade by tento súčet bol rovný jednému z čísel a, b, c, čo vždy vedie k nejakému sporu s predchádzajúcimi poznatkami:
Ak b + b = a alebo b + b = c, potom podľa (1) dostávame 2a + 2c = a alebo 2a + 2c = c, teda a = -2C alebo c = -2a, čo nie je možné.
• Ak b + b = b, potom b = 0, čo nie je možné.
Súčet b + b na mieste desiatok však nemôže byť ani väčšia než 9. V takom prípade by súčet na mieste stoviek bol a + c + 1 a toto číslo má byť presne jednému z čísel a, b, c; to vždy vedie k nejakému sporu:
• Ak a + c + 1 = a alebo a + c + 1 = c, potom c = -1 alebo a = -1, čo nie je možné.
• Ak a + c + 1 = b, potom podľa (1) dostávame b + 1 = b, teda 1 = 0, čo nie je možné.
Betkine myslené číslo teda nemôže byť ani trojmiestne.
4) Predpokladajme, že Betkine číslo je štvormiestne, a označíme si ich abcd. Z rovnakého dôvodu ako vyššie nemôžu byť čísla aad nuly, teda v súčte abcd + dcba sa na mieste jednotiek môže objaviť buď b, alebo c:
a b c d
d c b a
----------
* * * b
a b c d
d c b a
----------
* * * c
Súčasne d + a nemôže byť väčšia ako 9, pretože potom by celkový súčet abcd + DCBA nebol štvormiestny. Odtiaľ sa dozvedáme, že
buď a + d = b, (dalej len 2)
alebo a + d = c. (dalej len 3)
To okrem iného znamená, že buď b <> 0, alebo c <> 0.
Teraz predpokladáme, že súčet c + b na mieste desiatok je menšia ako 10, tzn. tento súčet je rovný jednému z čísel a, b, c, d, a preskúmame jednotlivé prípady. Najprv uvažujme platnosť (2), a teda b <> 0:
• Ak b + c = a alebo b + c = d, potom podľa (2) dostávame a + d + c = a alebo a + d + c = d, teda c = -d alebo c = -a, čo nie je možné .
• Ak b + c = b, potom c = 0 (čo ničomu nevadí).
• Ak b + c = c, potom b = 0, čo nie je možné.
Podobne, za predpokladu (3) zistíme, že jediná prípustná možnosť je b + c = c, teda b = 0
Celkom tak objavujeme dva možné prípady:
a b 0 d
d 0 b a
----------
b b b b
a 0 c d
d c 0 a
----------
c c c c
Pretože Betkine číslo je najmenšie číslo vyhovujúce všetkým uvedeným podmienkam, vôbec sa nemusíme zaoberať prípadom, kedy súčet c + b je väčší ako 9, a sústredíme sa výhradne na druhú z vyššie menovaných možností, tj. B = 0. Dosadíme najmenšie možné číslo na miesto tisícok a = 1 a zisťujeme, že c = d + 1. Najmenší vyhovujúce možnosť je d = 2 ac = 3. Betka si teda hrala s číslom 1032 a jej výpočet vyzeral takto:
1 0 3 2
2 3 0 1
----------
3 3 3 3
Z vyššie uvedeného je teraz jednoduché doplniť nejaké iné číslo s uvedenými vlastnosťami, teda nejaké Eričino číslo. Napr. stačí v Bětčině čísle zameniť číslica na mieste jednotiek a tisícoviek alebo číslice na mieste desiatok a stoviek, príp. uvažovať akékoľvek čísla tvaru (4). Medzi možnými riešeniami sú tiež čísla, kedy súčet c + b je väčšia než 9. Tu je niekoľko riešení, na ktoré mohla Erika prísť, keby nebola však tak netrpezlivá:
1 0 4 3
3 4 0 1
----------
4 4 4 4
1 3 0 2
2 0 3 1
----------
3 3 3 3
1 8 9 7
7 9 8 1
----------
9 8 7 8
Poznámky. a) Ak vieme zdôvodniť, že hľadané Betkine číslo musí byť aspoň štvormiestne, potom je možné ľahko nájsť skúšaním:
Najmenšie štvormiestne číslo s navzájom rôznymi číslicami je 1023. Toto číslo však nie je riešením, pretože 1023 + 3201 = 4224. Ak nás napadne prehodiť číslica 2 a 3, dostaneme vyhovujúce riešenie: 1032 + 2301 = 3333. Aby sme sa presvedčili, že toto riešenie je najmenšie možné, stačí overiť, že žiadne číslo medzi 1023 a 1032 nevyhovuje niektoré z uvedených podmienok.
b) Nahradenie ostatných úvah skúšaním je tiež možné, avšak často veľmi prácné. Avšak ak je riešenie založené na skúšaní úplné, nech je považované za správne.
Akékoľvek čiastkové všeobecné postrehy môžu počet možností k preskúšaniu zaujímavo znižovať (napr. Počet trojíc rôznych čísiel od 1 do 9 vyhovujúcich rovnosti (1) určite nie je väčší ako 32.
Na vyriešenie tejto úlohy sú potrebné tieto znalosti z matematiky:
Téma:
Úroveň náročnosti úlohy:
Súvisiace a podobné príklady:
- Koreň
Koreň rovnice (x-5)² +26 = x² +27x je rovný nula, alebo väčší ako 0, alebo menší ako 0? ... - Dokonalý štvorec
Klasifikovali by ste 324 ako dokonalý štvorec, dokonalú kocku, oboje alebo ani jedno? ... - Výraz zátvorky
Ktorý výraz sa rovná 12? ... - Rybárskych 48553
Marek mal 325 Kč. Kúpil si za 129 Kč tričko, v rybárskych potrebách chcel minúť 276 Kč. Koľko Kč (česká koruna) mu na rybárske potreby pridali rodičia? Koľko týždňov mu krátili o 10 Kč vreckové, než splatil dlh? - Myslel až vymyslel
Anton povedal: Mám prirodzené číslo x. Keď ho umocním na štyri tretiny, dostanem trikrát vačšie číslo. Aké číslo Anton myslel? - Mocnina
Číslo left(sqrt(12 * sqrt[ 9 ] (12)) right) 14 možno zapísať v tvare 12^x. Nájdite hodnotu x. - Miestny
Miestny univerzitný basketbalový tím ponúka autobusovú dopravu na zápas. Každý autobus má kapacitu 56 osôb. Celkovo sa prihlásilo 328 ľudí. Všetky autobusy sú plné okrem posledného autobusu. Koľko autobusov sa použije? Otázka 2: Koľko ľudí je v poslednom - Vypočítaj 435
Vypočítaj hodnotu výrazu V = 3x²- 2x + 3 pre x = -2. - Nájdite 15
Nájdite najmenšie x prirodzené také, že 2x je štvorec a 3x je tretia mocnina prirodzeného čísla - Nasledujúci 49683
(a) Preveďte nasledujúce zmiešané čísla na nesprávne zlomky. i. 3 5/8 ii. 7 7/6 (b) Preveďte nasledujúci nesprávny zlomok na zmiešané číslo. i. 13/4 ii. 78/5 (c) Zjednodušte tieto zlomky na najnižších členov. i. 36/42 ii. 27/45 2. vyhodnoťte nasledujúce v - Rozdielu 46651
Nájdete súčin podielu a rozdielu čísel 16/3 a 3,2 - Vypočítajte 45311
Vypočítajte súčin súčtu a rozdielu čísel odmocnina 5 a odmocnina 3 ( v tomto poradí) - Zlomky: 42141
Zlomky: 14/17 . 34/56 + 6/9 + 10/13 : 5/26 = 10/16 - ¼ + 15/18 : 5/9 = ¾ . (25/42 - 3/7) +16/21 : 4/7 = 2. Celé čísla: (-12) + (-6). (-2) - (-14) : 2 = 35 : (-5) + (-12) . 2 + (-6) = 42 : (-3) . (-5) - (-12)+ (-16) = - Znamienka 40171
Doplň znamienka, aby platilo 5 5 5 5 5=14 - Koľko 81
Koľko celých čísel je väčších ako 547/3 a menších ako 931/4? - O koľko 9
O koľko je polovica z polovice väčšia ako tretia mocnina polovice? - Vnučka
V roku 2014 bol súčet veku Milkynej tety, jej dcéry a jej vnučky rovný 100 rokov. V ktorom roku sa narodila vnučka, ak vieme, že vek každej z nich možno vyjadriť ako mocnina dvoch?