Úžasné číslo

Úžasnými číslom nazveme také párne číslo, ktorého rozklad na súčin prvočísel má práve tri nie nutne rôzne činitele a súčet všetkých jeho deliteľov je rovný dvojnásobku tohto čísla. Nájdite všetky užasné čísla.

Výsledok

n =  28

Riešenie:

Textové riešenie n =







Napíšte nám komentár ku príkladu a riešeniu (napríklad ak je stále niečo nejasné...):

Zobrazujem 3 komentáre (4 odpovede celkovo):
#1
Mo-radca
Nápoveda. Koľko najviac deliteľov môže mať číslo, ktoré je súčinom troch nie nutne rôzných prvočísel?

Možné riešenie. Pretože úžasné číslo je párne, aspoň jeden z jeho prvočíselných deliteľom 2; zvyšné dva prvočíselne deliteľe označíme b a c. Úžasné číslo je teda presne súčinu 2bc.Všetky delitele takéhoto čísla sú 1, 2, b, c, 2b, 2c, bc, 2bc, pričom niektoré z týchto čísel sa môžu rovnať. Postupne preberieme všetky možnosť podľa počtu a typu rôznych prvočíselných deliteľov.

a) Predpokladajme, že všetky prvočíselne delitele sú rovnaké, teda b = c = 2. V takom prípade by úžasné číslo bolo 8 a všetci jeho delitele by boli 1, 2, 4, 8. Súčet všetkých deliteľov by bol 15, čo nie je dvojnásobok čísla 8. Prípad b = c = 2 teda nie je možný.

b) Predpokladajme, že dva prvočíselne delitele sú rovné 2, teda b = 2. V takom prípade by úžasné číslo bolo 4c a všetky jeho delitele by boli 1, 2, c, 4, 2c, 4c. Súčet všetkých dělitelov by bol 7 + 7c a podľa zadania má platit 7 + 7c = 8c.To platí práve vtedy, keď c = 7; zodpovedajúce úžasné číslo je 4c = 28.

c) Predpokladajme, že dvaja prvočíselne delitele sú rovnaké, avšak obaja rôzne od 2, teda b = c = 2. V takom prípade by úžasné číslo bolo 2b^2 a všetci jeho delitele by boli 1, 2, b, 2b, b^2 , 2b^2. Súčet všetkých deliteľov by bol 3 + 3b + 3b^2 a podľa zadania má platiť 3 + 3b + 3b2 = 4b2, 3 (1 + b) = b^2. Číslo naľavo je násobkom čísla 3, teda číslo napravo má tiež byť násobkom 3. Vzhľadom k tomu, že b je prvočíslo, muselo by byť b = 3. V takom prípade by však naľavo bolo 3 · 4 = 12, zatiaľ čo napravo 3x2 = 9. Prípad b = c = 2 teda nie je možný.

d) Predpokladajme, že prvočíselne delitele sú navzájom rôzne, teda 2 = b = c = 2. V takom prípade by úžasné číslo bolo 2bc a všetky jeho delitele by boli 1, 2, b, c, 2b, 2c, bc, 2bc. Súčet všetkých deliteľov by bol 3 + 3b + 3c + 3bc a podľa zadania má platiť
   3 + 3b + 3c + 3bc = 4bc, 3 (1 + b + c) = bc.

Číslo naľavo je násobkom čísla 3, teda číslo napravo má tiež byť násobkom 3. Vzhľadom k tomu, že bac sú prvočísla, muselo by byť buď b = 3, alebo c = 3. Pre b = 3 by predchádzajúca rovnosť vyzerala takto 3 · (4 + c) = 3c, čo však neplatí pre žiadne c. Diskusia pre c = 3je obdobná. Prípad b = c = 2 teda nie je možný.

Jediné úžasné číslo je 28.

2 roky  1 Like
#2
Niekto
najdete mi dobru ulohu hodiacu sa na MO?

2 roky  1 Like
#3
Fff
n=28

avatar









Na vyriešenie tohto príkladu sú potrebné tieto znalosti z matematiky:

Ďaľšie podobné príklady:

  1. MO - bikvadrát
    eq2_6 Nájdite najväčšie prirodzené číslo d, ktoré má tú vlastnosť, že pre ľubovoľné prirodzené číslo n je hodnota výrazu V(n)=n4+11n2−12 deliteľná číslom d.
  2. Ciferný súčet
    number_line_3 Ciferný súčet dvojciferného čísla je deväť. Keď čísla obrátime a vynásobíme pôvodným dvojciferným číslom, dostaneme číslo 2430. Aké je pôvodne dvojciferné číslo?
  3. Tretiu s druhou
    sqrt_1 Máme 2 čísla. Keby sme vynásobili tretiu odmocninu prvého čísla s druhou odmocninou druhého čísla, dostali by sme číslo 18.Určte tieto 2 čísla. Ak má úloha v množine reálnych čísel nekonečne veľa riešení, vypočítajte len celočíselné riešenie.
  4. Predaje
    cukriky_9 Za 80 výrobkov dvojakej akosti sa utŕžilo celkom 175 Eur. Ak výrobok prvej kvality sa predával po n Eur za kus (n prirodzené číslo) a výrobok druhej akosti po dvoch Eur za kus, koľko kusov prvej kvality bolo predaných?
  5. Úsečky
    segments Úsečky dĺžok 67 cm a 3.1 dm máme rozdeliť na rovnaké diely tak, aby ich dĺžka v centimetroch bola vyjadrená celým číslom. Koľkými spôsobmi ich môžeme deliť?
  6. Hrnčeky
    hrnceky Teta kúpila 6 rovnakých hrnčekov a jednu kanvicu na kávu. Spolu zaplatila 60€. Kanvica bola drahšia ako jeden hrnček, ale lacnejšia ako dva hrnčeky. Teta si pamätala, že všetky ceny boli v celých eurách. Koľko € stál jeden hrnček a koľko kanvica?
  7. Diofant 2
    1diofantos Je rovnica   ? riešiteľná na množine celých čísel Z?
  8. Pletenka
    pletenky Pletenka stojí 44 centov. Koľko pleteniek treba najmenej kúpiť, aby sme mohli zaplatiť v hotovosti iba celými eurami?
  9. Višne
    visne Višne v miske môžu byť rozdelené rovnakým dielom medzi 8 alebo 10 alebo 11 detí. Koľko najmenej je v miske višní?
  10. Práca a koláče
    eura_10 Jedna firma zamestnala študenta-vysokoškoláka na celý mesiac jún na farme tak, že mu platila 16 € spolu s celodennou stravou na jeden deň. Ak v daný deň nepracoval, musel zaplatiť 6 € za stravu. Koľko dní študent pracoval, ak za mesiac jún zarobil 348 € ?
  11. 3uholník obsah
    right_triangle_1 Vypočítajte obsah pravouhlého trojuholníka, ktorého dlhšia odvesna je o 6 dm kratšia ako prepona a o 3 dm dlhšia ako kratšia odvesna.
  12. Steny kvádra
    cuboid_9 Vypočítajte objem kvádra, ak jeho rôzne steny majú obsahy 195cm², 135cm² a 117cm².
  13. MO Z9–I–3 - 2017
    robots Roboti Róbert a Hubert skladajú a rozoberajú mlynčeky na kávu. Pritom každý z nich mlynček zloží štyrikrát rýchlejšie, ako ho sám rozoberie. Keď ráno prišli do dielne, niekoľko mlynčekov už tam bolo zložených. O 7:00 začal Hubert skladať a Róbert rozoberať
  14. Klampiar
    klempir Klampiar mal postrihať pás plechu o rozmeroch 380 cm a 60cm na čo najväčšie štvorec tak, aby nevznikol žiadny odpad. Vypočítaj dĺžku strany jedného štvorca. Koľko štvorcov nastrihal?
  15. Pravouhlý trojuholník Alef
    r_triangle area pravouhlého trojuholníka je 294 cm2 a jeho prepona má dĺžku 35 cm. Aké sú dĺžky jeho odvesien?
  16. Vypočítajte 5
    rt_triangle_1 Vypočítajte dĺžky strán a uhly v pravouhlom trojuholníku. S=210, o=70.
  17. Kvocient geometrickej
    geometricka-postupnost a1+a3=15 a1+a2+a3=21 Vypočítajte a1 a q(kvocient geometrickej postupnosti).