Úžasné číslo

Úžasnými číslom nazveme také párne číslo, ktorého rozklad na súčin prvočísel má práve tri nie nutne rôzne činitele a súčet všetkých jeho deliteľov je rovný dvojnásobku tohto čísla. Nájdite všetky užasné čísla.

Výsledok

n =  28

Riešenie:

Textové riešenie n =







Napíšte nám komentár ku príkladu a riešeniu (napríklad ak je stále niečo nejasné...):

Zobrazujem 3 komentáre (4 odpovede celkovo):
#1
Mo-radca
Nápoveda. Koľko najviac deliteľov môže mať číslo, ktoré je súčinom troch nie nutne rôzných prvočísel?

Možné riešenie. Pretože úžasné číslo je párne, aspoň jeden z jeho prvočíselných deliteľom 2; zvyšné dva prvočíselne deliteľe označíme b a c. Úžasné číslo je teda presne súčinu 2bc.Všetky delitele takéhoto čísla sú 1, 2, b, c, 2b, 2c, bc, 2bc, pričom niektoré z týchto čísel sa môžu rovnať. Postupne preberieme všetky možnosť podľa počtu a typu rôznych prvočíselných deliteľov.

a) Predpokladajme, že všetky prvočíselne delitele sú rovnaké, teda b = c = 2. V takom prípade by úžasné číslo bolo 8 a všetci jeho delitele by boli 1, 2, 4, 8. Súčet všetkých deliteľov by bol 15, čo nie je dvojnásobok čísla 8. Prípad b = c = 2 teda nie je možný.

b) Predpokladajme, že dva prvočíselne delitele sú rovné 2, teda b = 2. V takom prípade by úžasné číslo bolo 4c a všetky jeho delitele by boli 1, 2, c, 4, 2c, 4c. Súčet všetkých dělitelov by bol 7 + 7c a podľa zadania má platit 7 + 7c = 8c.To platí práve vtedy, keď c = 7; zodpovedajúce úžasné číslo je 4c = 28.

c) Predpokladajme, že dvaja prvočíselne delitele sú rovnaké, avšak obaja rôzne od 2, teda b = c = 2. V takom prípade by úžasné číslo bolo 2b^2 a všetci jeho delitele by boli 1, 2, b, 2b, b^2 , 2b^2. Súčet všetkých deliteľov by bol 3 + 3b + 3b^2 a podľa zadania má platiť 3 + 3b + 3b2 = 4b2, 3 (1 + b) = b^2. Číslo naľavo je násobkom čísla 3, teda číslo napravo má tiež byť násobkom 3. Vzhľadom k tomu, že b je prvočíslo, muselo by byť b = 3. V takom prípade by však naľavo bolo 3 · 4 = 12, zatiaľ čo napravo 3x2 = 9. Prípad b = c = 2 teda nie je možný.

d) Predpokladajme, že prvočíselne delitele sú navzájom rôzne, teda 2 = b = c = 2. V takom prípade by úžasné číslo bolo 2bc a všetky jeho delitele by boli 1, 2, b, c, 2b, 2c, bc, 2bc. Súčet všetkých deliteľov by bol 3 + 3b + 3c + 3bc a podľa zadania má platiť
   3 + 3b + 3c + 3bc = 4bc, 3 (1 + b + c) = bc.

Číslo naľavo je násobkom čísla 3, teda číslo napravo má tiež byť násobkom 3. Vzhľadom k tomu, že bac sú prvočísla, muselo by byť buď b = 3, alebo c = 3. Pre b = 3 by predchádzajúca rovnosť vyzerala takto 3 · (4 + c) = 3c, čo však neplatí pre žiadne c. Diskusia pre c = 3je obdobná. Prípad b = c = 2 teda nie je možný.

Jediné úžasné číslo je 28.

2 roky  1 Like
#2
Niekto
najdete mi dobru ulohu hodiacu sa na MO?

2 roky  1 Like
#3
Fff
n=28

avatar









Na vyriešenie tohto príkladu sú potrebné tieto znalosti z matematiky:

Ďaľšie podobné príklady:

  1. Neznáme číslo
    unknown Neznáme číslo je deliteľné práve tromi rôznymi prvočíslami. Keď tieto prvočísla porovnáme vzostupne, platí nasledujúce: • Rozdiel druhého a prvého prvočísla je polovicou rozdielu tretieho a druhého prvočísla. • Súčin rozdielu druhého a prvého prvočísla s r
  2. Trojciferné
    primes Napíšte najmenšie trojciferné číslo, ktoré pri delení 5 a 7 dáva zvyšok 2.
  3. Dôkaz sporom
    thales_1 Chceme dokázať sporom tvrdenie: Ak je prirodzené číslo n deliteľné šiestimi, potom je n deliteľné tromi. Z akého predpokladu budeme vychádzať?
  4. Tretie číslo
    gs Doplňte tretie číslo postupnosti a určte kvocient: 2,5; 1,25;
  5. Cukrovinky
    cukrovinky Na trhoch majú 5 sort cukríkov, jeden váži 31 gramov. Koľkými rôznymi spôsobmi môže zákazník kúpiť 1.519 kg cukríkov.
  6. Kombinácie
    circles Koľko je rôznych kombinácií 2-ciferného čísla delitelného číslom 4 vzniknutého z číslic 3, 5 a 7?
  7. PIN - kódy
    pin Koľko päťciferných PIN - kódov môžeme vytvoriť s použitím párnych číslic?
  8. Priamka
    skew_lines Je pravda že priamky ktoré sa nepretínajú sú rovnobežné?
  9. Čebyševov vzorec
    ChebyshevSpiral Na odhadnutie počtu prvočísel menších ako x slúži tzv. Čebyševov vzorec: ? Odhadnite počet prvočísel menších ako 30300537.
  10. Záhrada
    stromy V ovocnej záhrade bolo jabloní o 46 viac ako hrušiek. Búrka vyvrátila štvrtinu jabloní a 7 hrušiek;ostalo však ešte 80 stromov. Koľko jabloní a koľko hrušiek bolo v záhrade?
  11. Postupnosť
    a_sequence Napíšte prvých 7 členov aritmetickej postupnosti: a1 =-3, d=6
  12. Trigonometria
    sinus Platí rovnosť: ?
  13. Bratská trojka
    vojaciky Juraj, Milan a Adrián majú spolu 93 vojačikov. Juraj má o 3 vojačikov viacej ako Milan. Adrián má o 15 vojačikov viacej ako Milan. Určite, koľko má každý z nich.
  14. Kábel
    tele Pretrhol sa telefónny kabel spájajúci miesta A, B vo vzdialenosti 2,5 km. Aka je pravdepodobnosť, ze sa to stalo vo vzdialenosti najviac 450 m od miesta A?
  15. Eliminačná metóda
    rovnice_1 Riešte sústavu lineárnych rovníc eliminačnou metódou: 5/2x + 3/5y= 4/15 1/2x + 2/5y= 2/15
  16. Referenčný uhol
    anglemeter Nájdite referenčný uhol nasledujúcich uhlov:
  17. Jablká
    apples_4 Koľko jabĺk je v piatom a v ôsmom košíku, ak v prvom je 5 jabĺk a v každom ďalšom je o 11 jabĺk viac ako v predchádzajucom?