Úžasné číslo
Úžasnými číslom nazveme také párne číslo, ktorého rozklad na súčin prvočísel má práve tri nie nutne rôzne činitele a súčet všetkých jeho deliteľov je rovný dvojnásobku tohto čísla. Nájdite všetky užasné čísla.
Správna odpoveď:
Zobrazujem 2 komentáre:
Mo-radca
Nápoveda. Koľko najviac deliteľov môže mať číslo, ktoré je súčinom troch nie nutne rôzných prvočísel?
Možné riešenie. Pretože úžasné číslo je párne, aspoň jeden z jeho prvočíselných deliteľom 2; zvyšné dva prvočíselne deliteľe označíme b a c. Úžasné číslo je teda presne súčinu 2bc.Všetky delitele takéhoto čísla sú 1, 2, b, c, 2b, 2c, bc, 2bc, pričom niektoré z týchto čísel sa môžu rovnať. Postupne preberieme všetky možnosť podľa počtu a typu rôznych prvočíselných deliteľov.
a) Predpokladajme, že všetky prvočíselne delitele sú rovnaké, teda b = c = 2. V takom prípade by úžasné číslo bolo 8 a všetci jeho delitele by boli 1, 2, 4, 8. Súčet všetkých deliteľov by bol 15, čo nie je dvojnásobok čísla 8. Prípad b = c = 2 teda nie je možný.
b) Predpokladajme, že dva prvočíselne delitele sú rovné 2, teda b = 2. V takom prípade by úžasné číslo bolo 4c a všetky jeho delitele by boli 1, 2, c, 4, 2c, 4c. Súčet všetkých dělitelov by bol 7 + 7c a podľa zadania má platit 7 + 7c = 8c.To platí práve vtedy, keď c = 7; zodpovedajúce úžasné číslo je 4c = 28.
c) Predpokladajme, že dvaja prvočíselne delitele sú rovnaké, avšak obaja rôzne od 2, teda b = c = 2. V takom prípade by úžasné číslo bolo 2b2 a všetci jeho delitele by boli 1, 2, b, 2b, b2 , 2b2. Súčet všetkých deliteľov by bol 3 + 3b + 3b2 a podľa zadania má platiť 3 + 3b + 3b2 = 4b2, 3 (1 + b) = b2. Číslo naľavo je násobkom čísla 3, teda číslo napravo má tiež byť násobkom 3. Vzhľadom k tomu, že b je prvočíslo, muselo by byť b = 3. V takom prípade by však naľavo bolo 3 · 4 = 12, zatiaľ čo napravo 3x2 = 9. Prípad b = c = 2 teda nie je možný.
d) Predpokladajme, že prvočíselne delitele sú navzájom rôzne, teda 2 = b = c = 2. V takom prípade by úžasné číslo bolo 2bc a všetky jeho delitele by boli 1, 2, b, c, 2b, 2c, bc, 2bc. Súčet všetkých deliteľov by bol 3 + 3b + 3c + 3bc a podľa zadania má platiť
3 + 3b + 3c + 3bc = 4bc, 3 (1 + b + c) = bc.
Číslo naľavo je násobkom čísla 3, teda číslo napravo má tiež byť násobkom 3. Vzhľadom k tomu, že bac sú prvočísla, muselo by byť buď b = 3, alebo c = 3. Pre b = 3 by predchádzajúca rovnosť vyzerala takto 3 · (4 + c) = 3c, čo však neplatí pre žiadne c. Diskusia pre c = 3je obdobná. Prípad b = c = 2 teda nie je možný.
Jediné úžasné číslo je 28.
Možné riešenie. Pretože úžasné číslo je párne, aspoň jeden z jeho prvočíselných deliteľom 2; zvyšné dva prvočíselne deliteľe označíme b a c. Úžasné číslo je teda presne súčinu 2bc.Všetky delitele takéhoto čísla sú 1, 2, b, c, 2b, 2c, bc, 2bc, pričom niektoré z týchto čísel sa môžu rovnať. Postupne preberieme všetky možnosť podľa počtu a typu rôznych prvočíselných deliteľov.
a) Predpokladajme, že všetky prvočíselne delitele sú rovnaké, teda b = c = 2. V takom prípade by úžasné číslo bolo 8 a všetci jeho delitele by boli 1, 2, 4, 8. Súčet všetkých deliteľov by bol 15, čo nie je dvojnásobok čísla 8. Prípad b = c = 2 teda nie je možný.
b) Predpokladajme, že dva prvočíselne delitele sú rovné 2, teda b = 2. V takom prípade by úžasné číslo bolo 4c a všetky jeho delitele by boli 1, 2, c, 4, 2c, 4c. Súčet všetkých dělitelov by bol 7 + 7c a podľa zadania má platit 7 + 7c = 8c.To platí práve vtedy, keď c = 7; zodpovedajúce úžasné číslo je 4c = 28.
c) Predpokladajme, že dvaja prvočíselne delitele sú rovnaké, avšak obaja rôzne od 2, teda b = c = 2. V takom prípade by úžasné číslo bolo 2b2 a všetci jeho delitele by boli 1, 2, b, 2b, b2 , 2b2. Súčet všetkých deliteľov by bol 3 + 3b + 3b2 a podľa zadania má platiť 3 + 3b + 3b2 = 4b2, 3 (1 + b) = b2. Číslo naľavo je násobkom čísla 3, teda číslo napravo má tiež byť násobkom 3. Vzhľadom k tomu, že b je prvočíslo, muselo by byť b = 3. V takom prípade by však naľavo bolo 3 · 4 = 12, zatiaľ čo napravo 3x2 = 9. Prípad b = c = 2 teda nie je možný.
d) Predpokladajme, že prvočíselne delitele sú navzájom rôzne, teda 2 = b = c = 2. V takom prípade by úžasné číslo bolo 2bc a všetky jeho delitele by boli 1, 2, b, c, 2b, 2c, bc, 2bc. Súčet všetkých deliteľov by bol 3 + 3b + 3c + 3bc a podľa zadania má platiť
3 + 3b + 3c + 3bc = 4bc, 3 (1 + b + c) = bc.
Číslo naľavo je násobkom čísla 3, teda číslo napravo má tiež byť násobkom 3. Vzhľadom k tomu, že bac sú prvočísla, muselo by byť buď b = 3, alebo c = 3. Pre b = 3 by predchádzajúca rovnosť vyzerala takto 3 · (4 + c) = 3c, čo však neplatí pre žiadne c. Diskusia pre c = 3je obdobná. Prípad b = c = 2 teda nie je možný.
Jediné úžasné číslo je 28.
8 rokov 1 Like
Na vyriešenie tejto úlohy sú potrebné tieto znalosti z matematiky:
Téma:
Úroveň náročnosti úlohy:
Odporúčame k tejto úlohe z matematiky si pozrieť toto výukové video: video1
Súvisiace a podobné príklady:
- Mo z5 2023 psy
Anetkin strýko má narodeniny v rovnaký deň v roku ako Anetkin teta. Strýko je staršie ako teta, nie však o viac ako o desať rokov, a obaja sú plnoletí. Na poslednej oslave ich narodenín si Anetka uvedomila, že keď vynásobí ich oslavované veky a výsledný s - Vypočítajte 235
Vypočítajte pravdepodobnosť udalosti, že si v kine na sedadlách 1 až 30 sadnete na: a) sedadlo označené prvočíslom b) sedadlo označené párnym číslom c) sedadlo označené číslom deliteľným 3 alebo 4 - Určí vsetky
Určí vsetky dvojciferné čísla, ktoré majú s číslom 76 najväčšieho spoločného delitela 19 - Učitel 6
Učitel napísal na tabuľu číslo menšie ako 50 000. Prvý žiak povedal: Toto číslo je delitelné 2 Druhý žiak povedal: Toto číslo je delitelné 3 A tak ďalej, až po posledného, ktorý tvrdil, že je dělitelné 13. Dvaja za sebou klamali. Aké číslo učiteľ napísal - Určte 11
Určte celé prirodzené číslo, ktoré sa nachádza medzi číslami 70 a 80, a je deliteľné bezo zvyšku 5, 3, a 15 a 25. - Deliteľné 70224
Určite číslo, ktorým sú všetky tieto čísla 22, 18, 25, 15, 35, 10 deliteľné bezo zvyšku. Číslo je väčšie ako 1. - Dvojciferné 68654
Vypíšte všetky zložené kladné dvojciferné čísla, ktorých najväčší spoločný deliteľ s číslom 51 je číslo 17. - Vypočítajte 186
Vypočítajte súčet všetkých deliteľov čísla 70. - Myslím 11
Myslím si číslo. Rozdiel deväťnásobku a štvornásobku neznámeho čísla je 625. Aké číslo si myslím? - Máme vytvoriť
Máme vytvoriť políčko v tvare obdĺžnika s rozlohou 288 m² (štvorcových), tak aby strany boli celé čísla. Aké sú všetky rozmery obdĺžnikového políčka, ktoré môžeme vytvoriť? Koľko je riešení. - Najmenší 4
Najmenší spoločný násobok dvoch čísel je o 22 viac ako ich najväčší spoločný delitel. Nájdi tieto čísla. - Najviac deliteľov
Spomedzi prirodzených čísel od 1 do 100 nájdi to, ktoré má najviac deliteľov. - Aranžér 2
Aranžér má k dispozícii určitý počet farebných terčíkov, z ktorých chce vytvoriť obdĺžníkovú schému kvetinového záhona. Ak dá do jedného radu 4,5,6,8,9 alebo 10 terčíkov, vždy má tri terčíky navyše. Koľko terčíkov má? Určte najmenší počet. - Maslo
Koľko kusov osminiek masla môžeme uložiť do škatule s rozmermi 4 dm, 2 dm, 1,8 dm, ak osminka masla má rozmery 8cm, 5 cm, 3 cm? - Ktorým 2
Ktorým číslom z prvej desiatky nie je deliteľné číslo 2520? Využi na riešenie znaky deliteľnosti - Nepárne prvočíslo
Aká je pravdepodobnosť, že pri hode kockou padne nepárne prvočíslo? - Všetky 2
Všetky spoločné delitele čísel 90 a 48