Päťuholník
Vo vnútri pravidelného päťuholníka ABCDE je bod P taký, že trojuholník ABP je rovnostranný. Aký veľký je uhol BCP?
Urob si náčrtok.
Urob si náčrtok.
Správna odpoveď:
Zobrazujem 1 komentár:
Mo - Ofic
Nápoveda. Uvedomte si, že trojuholník BCP nie je obyčajný.
Možné riešenie. Päťuholník ABCDE je pravidelný, najmä platí | AB | = | BC |. Trojuholník ABP je rovnostranný, najmä platí | AB | = | BP |. Odtiaľ vidíme, že | BP | = | BC |, teda, že trojuholník BCP je rovnoramenný. Jeho vnútorné uhly pri vrcholoch P a C sú preto zhodné; na ich určenie stačí poznať uhol pri vrchole B (súčet veľkostí vnútorných uhlov v ľubovoľnom trojuholníku je 180◦). Pritom uhol P BC je rozdielom uhlov ABC a ABP, z ktorých prvá je vnútorným uhlom pravidelného päťuholníka (vyjadríme vzápätí) a druhý je vnútorným uhlom rovnostranného trojuholníka (má veľkosť α = 60◦).
Päťuholník ABCDE môžeme rozdeliť na päť trojuholníkov so spoločným vrcholom P. Súčet vnútorných uhlov päťuholníka je rovný súčtu vnútorných uhlov všetkých piatich trojuholníkov výnimkou uhlov pri vrchole P, tj. 5 · 180◦-360◦ = 540◦. V pravidelnom päťuholníka sú všetky vnútorné uhly zhodné, každý má teda veľkosť 540◦: 5 = 108◦.
Odtiaľ konečne vieme vyjadriť β = |uhol PBC | = |uhol ABC | - |uhol ABP | = 108◦ - 60◦ = 48◦ a následne γ = |uhol BCP | = |uhol BPC | = (180◦ - 48◦) / 2 = 66◦.
Veľkosť uhla BCP je 66◦.
Poznámka. Veľkosť vnútorného uhla pravidelného päťuholníka je možné odvodiť aj pomocou rozdelenia na päť zhodných rovnoramenných trojuholníkov ako na nasledujúcom obrázku (S je stred päťuholníka, tj. Stred jemu opísanej kružnice).
Uhol pri vrchole S v každom z týchto trojuholníkov má veľkosť 360: 5 = 72◦; súčet uhlov pri základni je rovný 180◦-72◦ = 108◦, čo je tiež veľkosť vnútorného uhla pravidelného päťuholníka.
Možné riešenie. Päťuholník ABCDE je pravidelný, najmä platí | AB | = | BC |. Trojuholník ABP je rovnostranný, najmä platí | AB | = | BP |. Odtiaľ vidíme, že | BP | = | BC |, teda, že trojuholník BCP je rovnoramenný. Jeho vnútorné uhly pri vrcholoch P a C sú preto zhodné; na ich určenie stačí poznať uhol pri vrchole B (súčet veľkostí vnútorných uhlov v ľubovoľnom trojuholníku je 180◦). Pritom uhol P BC je rozdielom uhlov ABC a ABP, z ktorých prvá je vnútorným uhlom pravidelného päťuholníka (vyjadríme vzápätí) a druhý je vnútorným uhlom rovnostranného trojuholníka (má veľkosť α = 60◦).
Päťuholník ABCDE môžeme rozdeliť na päť trojuholníkov so spoločným vrcholom P. Súčet vnútorných uhlov päťuholníka je rovný súčtu vnútorných uhlov všetkých piatich trojuholníkov výnimkou uhlov pri vrchole P, tj. 5 · 180◦-360◦ = 540◦. V pravidelnom päťuholníka sú všetky vnútorné uhly zhodné, každý má teda veľkosť 540◦: 5 = 108◦.
Odtiaľ konečne vieme vyjadriť β = |uhol PBC | = |uhol ABC | - |uhol ABP | = 108◦ - 60◦ = 48◦ a následne γ = |uhol BCP | = |uhol BPC | = (180◦ - 48◦) / 2 = 66◦.
Veľkosť uhla BCP je 66◦.
Poznámka. Veľkosť vnútorného uhla pravidelného päťuholníka je možné odvodiť aj pomocou rozdelenia na päť zhodných rovnoramenných trojuholníkov ako na nasledujúcom obrázku (S je stred päťuholníka, tj. Stred jemu opísanej kružnice).
Uhol pri vrchole S v každom z týchto trojuholníkov má veľkosť 360: 5 = 72◦; súčet uhlov pri základni je rovný 180◦-72◦ = 108◦, čo je tiež veľkosť vnútorného uhla pravidelného päťuholníka.
8 rokov 1 Like
Tipy na súvisiace online kalkulačky
Na vyriešenie tejto úlohy sú potrebné tieto znalosti z matematiky:
Jednotky fyzikálnych veličín:
Téma:
Úroveň náročnosti úlohy:
Odporúčame k tejto úlohe z matematiky si pozrieť toto výukové video: video1
Súvisiace a podobné príklady:
- Z8 – I – 1 MO 2019
Zostrojte kosoštvorec ABCD tak, aby jeho uhlopriečka BD mala veľkosť 8 cm a vzdialenosť vrcholu B od priamky AD bola 5 cm. Určte všetky možnosti. - C-I-2 2018 MO
Na strane AB trojuholníka ABC sú dané body D a E tak, že |AD| = |DE| = |EB|. Body A a B sú postupne stredmi úsečiek CF a CG. Priamka CD pretína priamku FB v bode I a priamka CE pretína priamku AG v bode J. Dokážte, že priesečník priamok AI a BJ leží na pr - Z7-1-6 MO 2018
Daný je rovnoramenný pravouhlý trojuholník ABS so základňou AB. Na kružnici, ktorá má stred v bode S a prechádza bodmi A a B, leží bod C tak, že trojuholník ABC je rovnoramenný. Určte, koľko bodov C vyhovuje uvedeným podmienkam, a všetky také body zostroj - Rovnoramenný - Z7–I–5
Je daný trojuholník ABC so stranami /AB/ = 3 cm, /BC/ = 10 cm a uhlom ABC = 120°. Narysujte všetky body X tak, aby platilo, že trojuholník BCX je rovnoramenný a súčasne trojuholník ABX je rovnoramenný so základňou AB. - Z9–I–1
Vo všetkých deviatich poliach obrazca majú byť vyplnené prirodzené čísla tak, aby platilo: • každé z čísel 2, 4, 6 a 8 je použité aspoň raz, • štyri z polí vnútorného štvorca obsahujú súčiny čísel zo susediacich polí vonkajšieho štvorca, • v kruhu je súče - Z9–I–6 MRAK
Je daná úsečka AB dĺžky 12 cm, na ktorej je jednou stranou položený štvorec MRAK so stranou dĺžky 2 cm, viď obrázok. MRAK sa postupne preklápa po úsečke AB, pričom bod R zanecháva na papieri stopu. Narysujte celú stopu bodu R, kým štvorec nezaobíde úsečku - Šesťuholník nepravidelný
Na obrázku je štvorec ABCD, štvorec EFGD a obdĺžnik HIJD. Body J a G ležia na strane CD, pričom platí |DJ| < |DG| a body H a E ležia na strane DA, pričom platí /DH/ < /DE/. Ďalej vieme, že/DJ/ = /GC/. Šesťuholník ABCGFE má obvod 96 cm, šesťuholník E - Katka MO
Katka narysovala trojuholník ABC. Stred strany AB si označila ako X a stred strany AC ako Y. Na strane BC chce nájsť taký bod Z, aby obsah štvoruholníka AXZY bol čo najväčší. Akú časť trojuholníka ABC môže maximálne zaberať štvoruholník AXZY? - Štvorcová sieť
Štvorcová sieť sa skladá zo štvorca so stranou dĺžky 1cm. Narysujte do nej aspoň tri rôzne obrazce také, aby každý mal obsah 6 cm² a obvod 12cm a aby ich strany splývali s priamkami siete. - Zastroj
Zastroj rovnoramenný trojuholník ABY zo základňou AB dĺžky 5 cm a uhlom pri hlavnom vrchole veľkosti 50°. Zapíše postup konštrukcie. - Dve tetivy
Dané sú dve úsečky rôznych dĺžok. Zostrojte kružnicu k tak, aby obe úsečky boli jej tetivami. - Dve družnice
Zostroj 2 kružnice tak aby ich stredy boli od seba vzdialene 5 cm a: a-nemali spoločný dotyk b- mali spoločný bod c-mali 2 spoločné body - Trojuholníkov 83111
Peťo zložil z navzájom zhodných trojuholníkov niekoľko rovinných útvarov. Obvody prvých troch sú postupne 8 cm, 11,4 cm a 14,7 cm. Určite obvod štvrtého útvaru - Priklad – 8. rocnik (asi MO)
Adam napı́sal nasledujúci súčet s piatimi tajnými sčı́tancami: a + bb + ccc + dddd + eeeee. Prezradil, že znaky „a, b, c, d, e“ predstavujú navzájom rôzne cifry 1, 2, 3, 4, 5 a že výsledný súčet je deliteľný 11. Ktoré najmenšie a ktoré na - Mo z5 2023 psy
Anetkin strýko má narodeniny v rovnaký deň v roku ako Anetkin teta. Strýko je starší ako teta, nie však o viac ako o desať rokov, a obaja sú plnoletí. Na poslednej oslave ich narodenín si Anetka uvedomila, že keď vynásobí ich oslavované veky a výsledný sú - Trojuholník MO Z8-I-5
Trojuholník ABC je rozdelený úsečkami. Úsečky DE a AB sú rovnobežné. Trojuholníky CDH, CHI, CIE, FIH majú rovnaký obsah a to 8 dm². Zistite obsah štvoruholníka AFHD. - Zajac 2024m
Zajac sa zúčastnil na pretekoch dlhých 2024 metrov. Zo štartovej čiary sa odrazil ľavou nohou a po celý čas pretekov pravidelne striedal ľavú, pravú a obe nohy. Keď sa zajac odrazil ľavou nohou, skočil 35 dm, keď sa odrazil pravou nohou, skočil 15