Päťuholník
Vo vnútri pravidelného päťuholníka ABCDE je bod P taký, že trojuholník ABP je rovnostranný. Aký veľký je uhol BCP?
Urob si náčrtok.
Urob si náčrtok.
Správna odpoveď:
Zobrazujem 1 komentár:
Mo - Ofic
Nápoveda. Uvedomte si, že trojuholník BCP nie je obyčajný.
Možné riešenie. Päťuholník ABCDE je pravidelný, najmä platí | AB | = | BC |. Trojuholník ABP je rovnostranný, najmä platí | AB | = | BP |. Odtiaľ vidíme, že | BP | = | BC |, teda, že trojuholník BCP je rovnoramenný. Jeho vnútorné uhly pri vrcholoch P a C sú preto zhodné; na ich určenie stačí poznať uhol pri vrchole B (súčet veľkostí vnútorných uhlov v ľubovoľnom trojuholníku je 180◦). Pritom uhol P BC je rozdielom uhlov ABC a ABP, z ktorých prvá je vnútorným uhlom pravidelného päťuholníka (vyjadríme vzápätí) a druhý je vnútorným uhlom rovnostranného trojuholníka (má veľkosť α = 60◦).
Päťuholník ABCDE môžeme rozdeliť na päť trojuholníkov so spoločným vrcholom P. Súčet vnútorných uhlov päťuholníka je rovný súčtu vnútorných uhlov všetkých piatich trojuholníkov výnimkou uhlov pri vrchole P, tj. 5 · 180◦-360◦ = 540◦. V pravidelnom päťuholníka sú všetky vnútorné uhly zhodné, každý má teda veľkosť 540◦: 5 = 108◦.
Odtiaľ konečne vieme vyjadriť β = |uhol PBC | = |uhol ABC | - |uhol ABP | = 108◦ - 60◦ = 48◦ a následne γ = |uhol BCP | = |uhol BPC | = (180◦ - 48◦) / 2 = 66◦.
Veľkosť uhla BCP je 66◦.
Poznámka. Veľkosť vnútorného uhla pravidelného päťuholníka je možné odvodiť aj pomocou rozdelenia na päť zhodných rovnoramenných trojuholníkov ako na nasledujúcom obrázku (S je stred päťuholníka, tj. Stred jemu opísanej kružnice).
Uhol pri vrchole S v každom z týchto trojuholníkov má veľkosť 360: 5 = 72◦; súčet uhlov pri základni je rovný 180◦-72◦ = 108◦, čo je tiež veľkosť vnútorného uhla pravidelného päťuholníka.
Možné riešenie. Päťuholník ABCDE je pravidelný, najmä platí | AB | = | BC |. Trojuholník ABP je rovnostranný, najmä platí | AB | = | BP |. Odtiaľ vidíme, že | BP | = | BC |, teda, že trojuholník BCP je rovnoramenný. Jeho vnútorné uhly pri vrcholoch P a C sú preto zhodné; na ich určenie stačí poznať uhol pri vrchole B (súčet veľkostí vnútorných uhlov v ľubovoľnom trojuholníku je 180◦). Pritom uhol P BC je rozdielom uhlov ABC a ABP, z ktorých prvá je vnútorným uhlom pravidelného päťuholníka (vyjadríme vzápätí) a druhý je vnútorným uhlom rovnostranného trojuholníka (má veľkosť α = 60◦).
Päťuholník ABCDE môžeme rozdeliť na päť trojuholníkov so spoločným vrcholom P. Súčet vnútorných uhlov päťuholníka je rovný súčtu vnútorných uhlov všetkých piatich trojuholníkov výnimkou uhlov pri vrchole P, tj. 5 · 180◦-360◦ = 540◦. V pravidelnom päťuholníka sú všetky vnútorné uhly zhodné, každý má teda veľkosť 540◦: 5 = 108◦.
Odtiaľ konečne vieme vyjadriť β = |uhol PBC | = |uhol ABC | - |uhol ABP | = 108◦ - 60◦ = 48◦ a následne γ = |uhol BCP | = |uhol BPC | = (180◦ - 48◦) / 2 = 66◦.
Veľkosť uhla BCP je 66◦.
Poznámka. Veľkosť vnútorného uhla pravidelného päťuholníka je možné odvodiť aj pomocou rozdelenia na päť zhodných rovnoramenných trojuholníkov ako na nasledujúcom obrázku (S je stred päťuholníka, tj. Stred jemu opísanej kružnice).
Uhol pri vrchole S v každom z týchto trojuholníkov má veľkosť 360: 5 = 72◦; súčet uhlov pri základni je rovný 180◦-72◦ = 108◦, čo je tiež veľkosť vnútorného uhla pravidelného päťuholníka.
8 rokov 1 Like
Tipy na súvisiace online kalkulačky
Na vyriešenie tejto úlohy sú potrebné tieto znalosti z matematiky:
Jednotky fyzikálnych veličín:
Téma:
Úroveň náročnosti úlohy:
Odporúčame k tejto úlohe z matematiky si pozrieť toto výukové video: video1
Súvisiace a podobné príklady:
- Trojuholník MO Z8-I-5
Trojuholník ABC je rozdelený úsečkami. Úsečky DE a AB sú rovnobežné. Trojuholníky CDH, CHI, CIE, FIH majú rovnaký obsah a to 8 dm². Zistite obsah štvoruholníka AFHD. - Karol 9
Karol mal vynásobiť dve dvojciferné čísla. Z nepozornosti vymenil poradie cifier v jednom z činiteľov a dostal súčin, ktorý bol o 4 248 menší ako správny výsledok. Aký je správny výsledok? Koľko malo Karolovi správne vyjsť? - Adam mal 3
Adam mal papier, ktorý bol natoľko veľký, že by sa z neho dalo natrhať niekoľko desiatok tisíc kúskov. Najprv papier roztrhal na štyri kúsky. Každý z týchto kú skov vzal a roztrhal buď na štyri, alebo na desať kúskov. Rovnakým spôsobom pokračo - Skautskom MO 2023 z8
V minulom roku bolo v našom skautskom oddiele o 30 chlapcov viac ako dievčat. Tento rok sa počet detí v oddiele zväčšil o 10%, pričom počet chlapcov sa zväčšil o 5% a počet dievčat sa zväčšil o 20%. Koľko detí máme tento rok v oddiele?
- Štvoruholník 14
Daný je štvorec ABCD. Stred AB je E, stred BC je F, CD je G a stred DA je H. Spojíme AF, BG, CH a DE. Vo vnútri štvorca (približne v strede) priesečníky týchto úsečiek vytvoria štvoruholník. Vypočítajte obsah tohto štvoruholníka. Ďakujem - Nikola
Nikola mala v zošite napísané jedno trojciferne a jedno dvojciferné číslo. Každé z týchto čísel bolo tvorené navzájom rôznymi číslicami. Rozdiel Nikolinych čísel bol 976. Aký bol ich súčet? - MO Z7 2022
Priemerný vek starého otca, babičky a ich piatich vnúčat je 26 rokov. Priemerný vek samotných vnúčat je 7 rokov. Babička je o rok mladšia ako dedo. Koľko rokov je babičke? - Koľkými 14
Koľkými rôznymi spôsobmi sa môžu postaviť do radu v jedálni Anka, Betka, Cyril, Daniel a Erik, ak chlapci pustia obe dievčatá pred seba? - Kolko 126
Koľko je prirodzených dvojciferných čísel, ktoré môžeme utvoriť z cifier 0, 1, 2, 3, ak sa v týchto číslach nemôžu cifry opakovať?
- Dedecek 63074
Môj jediný syn sa narodil keď som mal 37 rokov. to bolo práve 32 rokov po smrti dedka a ten zomrel vo svojich 64 rokoch. Dedecek bol o 12 rokov starší ako babička, brali sa v roku 1947 práve keď babičke bolo 18 rokov. V ktorom roku sa narodil môj syn? - Nakupoval 61153
Vodník Kebule nakupoval v rybárni kapitána Nema, kde ceny všetkého tovaru boli uvedené v celých šupinách. Keby Kebule kúpil 2 raky, 3 mušle, a 1 šťuku, zaplatil by 49 šupín. Ak by prikúpil ešte 5 rákov, 11 mušlí a 1 šťuku, platil by celkom 154 šupín. Koľk - Vierka 3 MO Z8
Vierka z troch daných číslic zostavovala navzájom rôzne trojmiestne čísla. Keď všetky tieto čísla sčítala, vyšlo jej 1221. Aké číslice Vierka použila? Určte päť možností - Z8 MO 2021
V danej skupine čı́sel je jedno čı́slo rovné priemeru všetkých, najväčšie čı́slo je o 7 väčšie než priemer, najmenšie je o 7 menšie než priemer a väčšina čı́sel zo skupiny má podpriemernú hodnotu. Aký najmenšı́ počet čı́sel môž - Trojnožky
Na novo objavenej planéte žijú zvieratá, ktoré astronauti pomenovali podľa počtu nôh jednonožky, dvojnožky, trojnožky a tak ďalej (zvieratá bez nôh tam neboli). Zvieratá s nepárnym počtom nôh majú dve hlavy, zvieratá s párnym počtom nôh majú jednu hlavu.
- MO Z7-II-1 2020
Na rozprávkovom ostrove žijú draci a kyklopi. Všetci draci sú červení, trojhlaví a dvojnohí. Všetci kyklopi sú hnedí, jednohlaví a dvojnohí. Kyklopovia majú jedno oko uprostred čela, draci majú na každej hlave dve oči. Dohromady majú kyklopi a draci 42 oč - MO Z7–I–6 2021
V trojuholníku ABC leží na strane AC bod D a na strane BC bod E. Veľkosti uhlov ABD, BAE, CAE a CBD sú postupne 30°, 60°, 20° a 30°. určte veľkosť uhla AED. - Dva prístavy
Medzi prístavy Mumraj a Zmätok pendlujú po rovnakej trase dve lode. V prístavoch trávia zanedbateľný čas, hneď sa otáčajú a pokračujú v plavbe. Ráno v rovnaký okamih vypláva modrá loď z prístavu Mumraj a zelená loď z prístavu Zmätok. Prvýkrát sa lode míňa