Číselná os
V kocúrskovskej škole používajú zvláštne číselnú os. Vzdialenosť medzi číslami 1 a 2 je 1 cm, vzdialenosť medzi číslami 2 a 3 je 3 cm, medzi číslami 3 a 4 je 5 cm, a tak ďalej, vzdialenosť medzi nasledujúce dvojicou prirodzenými číslami sa vždy zväčší o 2 cm.
Medzi ktorými dvoma prirodzenými číslami je na kocúrskovskej číselnej osi vzdialenosť 39 cm?
Nájdi všetky možnosti.
Medzi ktorými dvoma prirodzenými číslami je na kocúrskovskej číselnej osi vzdialenosť 39 cm?
Nájdi všetky možnosti.
Správna odpoveď:
Zobrazujem 1 komentár:
Mo-radca
Nápoveda. Vypíšte si vzdialenosti medzi rôznymi trojicami čísel na kocúrkovskej osi.
Možné riešenie.
Vzdialenosť 39 cm môže byť realizovaná medzi rôznymi dvojicami čísel. Budeme systematicky vypisovať vzdialenosti medzi niekoľkými prvými číslami kocúrkovskej osi. V nasledujúcej schéme je nad čiarou vypísané prvých 10 čísiel a pod čiarou skutočnej vzdialenosti (v cm) medzi rôznymi dvojicami týchto čísel - na prvom riadku pod čiarou sú postupne vzdialenosti medzi susednými číslami, na druhom riadku pod čiarou sú vzdialenosti medzi dvojicami čísel, ktoré sú ob jedno, atď. (Napr. 21 na treťom riadku pod čiarou značí skutočnú vzdialenosť medzi číslami 3 a 6 na kocúrkovskej osi a je určené ako 5 + 7 + 9). Hviezdičkou sú označené zbytočne veľké čísla, ktorá nás nezaujímajú.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1 3 5 7 9 11 13 15 17
4 8 12 16 20 24 28 32 36
9 15 21 27 33 39 * *
16 24 32 40 * * * *
25 35 45 * * * *
36 48 * * * * *
49 * * * * *
Ihneď vidíme (z tretieho riadku pod čiarou), že vzdialenosť 39 cm je medzi číslami 6 a 9 a že sa určite neobjavuje medzi číslami, ktoré sú na kocúrkovskej osi viac ako ob dve (od štvrtého riadku pod čiarou). Vzdialenosť 39 cm sa určite tiež nemôže objavovať medzi číslami, ktoré sú ob jedno, pretože všetky tieto vzdialenosti sú párne (druhý riadok pod čiarou). Zostáva teda preskúmať vzdialenosti medzi susednými číslami (prvý riadok pod čiarou):
Postupnosť vzdialenosťou medzi susednými číslami môžeme vyjadriť ako
1, 3 = 1 + 2, 5 = 1 + 2 · 2, 7 = 1 + 2 · 3, 9 = 1 + 2 · 4,. . .
Všeobecne, vzdialenosť medzi i-tím a (i + 1) -ným číslom na kocúrkovskej osi je rovná
1 + 2 (i - 1) = 2i - 1 (cm).
Táto vzdialenosť bude teda rovná 39 cm, práve keď i = 20. Vzdialenosť 39 cm na kocúrkovskej číselnej osi je medzi dvojicami čísel 6, 9 a 20, 21.
Poznámky.
a) Záverečnou úvahy možno nahradiť vypísaním a spočítaním všetkých nepárnych čísel až po 39. Ak je výpočet úplný, je takéto riešenie správne.
b) Naopak úvodnej vypisovanie možno celé nahradiť úvahou, príp. výpočtom: Všetky vzdialenosti v tabuľke sú súčtom rôznych počtov nepárnych čísel, pričom tieto počty sú buď nepárne (pre susedné čísla a dvojica čísel, ktoré sú ob párny počet čísel), alebo párne (pre dvojice čísel, ktoré sú ob nepárny počet čísiel). Na jednotlivých riadkoch sa teda objavujú buď len nepárne, alebo iba párne čísla. Vzdialenosť 39 cm sa teda môže objavovať iba medzi susednými číslami a dvojicami, ktoré sú na kocúrkovskej osi ob párny počet čísel.
Predchádzajúce vypisovanie postupnosti vzdialeností medzi susednými číslami má nasledujúce analógiu pre dvojice čísel, ktoré sú ob dve:
9, 15 = 9 + 6, 21 = 9 + 6 · 2, 27 = 9 + 6 · 3,. . .
Všeobecne, vzdialenosť medzi i-tím a (i + 3) -tým číslom na kocúrkovskej osi je rovná 9 + 6 (i - 1) = 6i + 3 (cm).
Táto vzdialenosť bude teda rovná 39 cm, práve keď i = 6. Obdobne možno vyjadriť akúkoľvek inú vyššie vypisovanie postupnosť.
c) Riešenie úlohy možno zjednodušiť pomocou nasledujúceho poznatku: Súčet nepárneho počtu po sebe idúcich nepárnych čísel je rovný súčinu počtu týchto čísel a prostredného z nich. Zvedavým riešiteľom odporúčame tento poznatok zdôvodniť a riešenie domyslieť.
d) V uvedenej schéme si môžeme všimnúť, že všetky čísla v prvom šikmom stĺpci sú druhými mocninami prirodzených čísel. To nie je náhoda - všeobecne platí, že súčet prvých k po sebe idúcich nepárnych čísel je rovný k2. Zvedavým riešiteľom odporúčame porovnať toto tvrdenie s poznatkom v predchádzajúcej poznámke.
Možné riešenie.
Vzdialenosť 39 cm môže byť realizovaná medzi rôznymi dvojicami čísel. Budeme systematicky vypisovať vzdialenosti medzi niekoľkými prvými číslami kocúrkovskej osi. V nasledujúcej schéme je nad čiarou vypísané prvých 10 čísiel a pod čiarou skutočnej vzdialenosti (v cm) medzi rôznymi dvojicami týchto čísel - na prvom riadku pod čiarou sú postupne vzdialenosti medzi susednými číslami, na druhom riadku pod čiarou sú vzdialenosti medzi dvojicami čísel, ktoré sú ob jedno, atď. (Napr. 21 na treťom riadku pod čiarou značí skutočnú vzdialenosť medzi číslami 3 a 6 na kocúrkovskej osi a je určené ako 5 + 7 + 9). Hviezdičkou sú označené zbytočne veľké čísla, ktorá nás nezaujímajú.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1 3 5 7 9 11 13 15 17
4 8 12 16 20 24 28 32 36
9 15 21 27 33 39 * *
16 24 32 40 * * * *
25 35 45 * * * *
36 48 * * * * *
49 * * * * *
Ihneď vidíme (z tretieho riadku pod čiarou), že vzdialenosť 39 cm je medzi číslami 6 a 9 a že sa určite neobjavuje medzi číslami, ktoré sú na kocúrkovskej osi viac ako ob dve (od štvrtého riadku pod čiarou). Vzdialenosť 39 cm sa určite tiež nemôže objavovať medzi číslami, ktoré sú ob jedno, pretože všetky tieto vzdialenosti sú párne (druhý riadok pod čiarou). Zostáva teda preskúmať vzdialenosti medzi susednými číslami (prvý riadok pod čiarou):
Postupnosť vzdialenosťou medzi susednými číslami môžeme vyjadriť ako
1, 3 = 1 + 2, 5 = 1 + 2 · 2, 7 = 1 + 2 · 3, 9 = 1 + 2 · 4,. . .
Všeobecne, vzdialenosť medzi i-tím a (i + 1) -ným číslom na kocúrkovskej osi je rovná
1 + 2 (i - 1) = 2i - 1 (cm).
Táto vzdialenosť bude teda rovná 39 cm, práve keď i = 20. Vzdialenosť 39 cm na kocúrkovskej číselnej osi je medzi dvojicami čísel 6, 9 a 20, 21.
Poznámky.
a) Záverečnou úvahy možno nahradiť vypísaním a spočítaním všetkých nepárnych čísel až po 39. Ak je výpočet úplný, je takéto riešenie správne.
b) Naopak úvodnej vypisovanie možno celé nahradiť úvahou, príp. výpočtom: Všetky vzdialenosti v tabuľke sú súčtom rôznych počtov nepárnych čísel, pričom tieto počty sú buď nepárne (pre susedné čísla a dvojica čísel, ktoré sú ob párny počet čísel), alebo párne (pre dvojice čísel, ktoré sú ob nepárny počet čísiel). Na jednotlivých riadkoch sa teda objavujú buď len nepárne, alebo iba párne čísla. Vzdialenosť 39 cm sa teda môže objavovať iba medzi susednými číslami a dvojicami, ktoré sú na kocúrkovskej osi ob párny počet čísel.
Predchádzajúce vypisovanie postupnosti vzdialeností medzi susednými číslami má nasledujúce analógiu pre dvojice čísel, ktoré sú ob dve:
9, 15 = 9 + 6, 21 = 9 + 6 · 2, 27 = 9 + 6 · 3,. . .
Všeobecne, vzdialenosť medzi i-tím a (i + 3) -tým číslom na kocúrkovskej osi je rovná 9 + 6 (i - 1) = 6i + 3 (cm).
Táto vzdialenosť bude teda rovná 39 cm, práve keď i = 6. Obdobne možno vyjadriť akúkoľvek inú vyššie vypisovanie postupnosť.
c) Riešenie úlohy možno zjednodušiť pomocou nasledujúceho poznatku: Súčet nepárneho počtu po sebe idúcich nepárnych čísel je rovný súčinu počtu týchto čísel a prostredného z nich. Zvedavým riešiteľom odporúčame tento poznatok zdôvodniť a riešenie domyslieť.
d) V uvedenej schéme si môžeme všimnúť, že všetky čísla v prvom šikmom stĺpci sú druhými mocninami prirodzených čísel. To nie je náhoda - všeobecne platí, že súčet prvých k po sebe idúcich nepárnych čísel je rovný k2. Zvedavým riešiteľom odporúčame porovnať toto tvrdenie s poznatkom v predchádzajúcej poznámke.
Na vyriešenie tejto úlohy sú potrebné tieto znalosti z matematiky:
Súvisiace a podobné príklady:
- Číselna os
Aké číslo je na číselnej osi presne v strede medzi číslami 9,8 a -2,4? - Číselná os P3
Na číselnej osi sú za sebou idúce prirodzené čísla vzdialené vždy o 1 cm. Napíšte súčet čísel, ktoré sú na číselnej osi od čísla 517 vzdialené o 9 cm. - Predchádzajúci 74274
Skontrolujte postupnosť a dokončite nasledujúce vyhlásenie: nasledujúce: 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49 Prvé dve čísla sa líšia o a. Druhé a tretie číslo sa líši o b. Tretie a štvrté číslo sa líši o c. Zdá sa, že rozdiel medzi akýmikoľvek dvoma po sebe idúcimi č - Nasledujúce 53021
76% je medzi ktorými sú nasledujúce dve čísla. 1) 1/5 a 1/4. 2) 1/3 a 1/2 3) 2/3 a 7/10 4) 3/4 a 5/6 - Číselná os 4
Ktoré číslo je na číselné osi rovnako vzdialené od čísel 299 a 1051? - Ktore 10
Ktoré číslo leží na čiselnej osi presne v strede medzi čislami 258 a 326? - Z8-I-6 MO 2017
Priamka predstavuje číselnú os a vyznačené body zodpovedajú číslam a, −a, a + 1, avšak nie nutne v tomto poradí. Zostrojte body, ktoré zodpovedajú číslam 0 a 1. Preberte všetky možnosti. - Čísla
Nájdite na číselnej osi číslo, ktoré má rovnakú vzdialenosť od čísel: -9 a -1, -3 a -3, -7 a 3, -2 a 2, -3 a -1 - Obdĺžnik
Narysujte obdĺžnik s hranami a = 4cm, b = 5cm. Vyznačte stred súmernosti S a všetky osi súmernosti. Koľko os súmernosti má? Zapíšte. - Štvorec
Narysujte štvorec o strane a = 4cm. Vyznačte stred súmernosti S a všetky osi súmernosti. Koľko os súmernosti má? Zapíšte. - Predstavujúcej 5468
Na priamke predstavujúcej číselnú os uviažte navzájom rôzne body zodpovedajúce číslam a, 2a, 3a+1 vo všetkých možných poradiach. Pri každej možnosti rozhodnite, či je také usporiadanie možné. Ak áno, uveďte konkrétny príklad, ak nie, zdôvodnite prečo. - Vzdialenosť 50291
Nájdite vzdialenosť medzi dvoma komplexnými číslami: z1=(-8+i) a z2=(-1+i). - Na číselnej osi 2
Zobraz na číselnej osi všetky reálne čísla, ktoré sú väčšie, alebo sa rovnajú dvom a zároveň sú menšie ako 5. - Z7-I-4 MO 2017
Na stole ležalo šesť kartičiek s ciframi 1, 2, 3, 4, 5, 6. Anežka z týchto kartičiek zložila šesťciferné číslo, ktoré bolo deliteľné šiestimi. Potom postupne odoberala kartičky sprava. Keď odobrala prvú kartičku, zostalo na stole päťciferné číslo deliteľn - Medzi dve
Medzi čísla 6 a 384 vložte niekoľko čísel tak, aby tvorili s danými číslami GP a aby ďalej platilo: a) súčet všetkých čísel je 510 A pre inú GP aby platilo: b) súčet vložených čísel je -132 (Ide o dve rôzne geometrické postupnosti, ale s rovnakými dvoma č - Na číselnej osi
Určte celé číslo, ktorého vzdialenosť na číselnej osi od čísla 1 je dvakrát menšia ako vzdialenosť od čísla 6. - Z9-I-6 MO 2017
Na priamke predstavujúcej číselnú os uvážte navzájom rôzne body zodpovedajúce číslam a, 2a, 3a + 1 vo všetkých možných poradiach. Pri každej možnosti rozhodnite, či je také usporiadanie možné. Ak áno, uveďte konkrétny príklad, ak nie, zdôvodnite prečo.