Číselná os
V kocúrskovskej škole používajú zvláštne číselnú os. Vzdialenosť medzi číslami 1 a 2 je 1 cm, vzdialenosť medzi číslami 2 a 3 je 3 cm, medzi číslami 3 a 4 je 5 cm, a tak ďalej, vzdialenosť medzi nasledujúce dvojicou prirodzenými číslami sa vždy zväčší o 2 cm.
Medzi ktorými dvoma prirodzenými číslami je na kocúrskovskej číselnej osi vzdialenosť 39 cm?
Nájdi všetky možnosti.
Medzi ktorými dvoma prirodzenými číslami je na kocúrskovskej číselnej osi vzdialenosť 39 cm?
Nájdi všetky možnosti.
Správna odpoveď:
Zobrazujem 1 komentár:
Mo-radca
Nápoveda. Vypíšte si vzdialenosti medzi rôznymi trojicami čísel na kocúrkovskej osi.
Možné riešenie.
Vzdialenosť 39 cm môže byť realizovaná medzi rôznymi dvojicami čísel. Budeme systematicky vypisovať vzdialenosti medzi niekoľkými prvými číslami kocúrkovskej osi. V nasledujúcej schéme je nad čiarou vypísané prvých 10 čísiel a pod čiarou skutočnej vzdialenosti (v cm) medzi rôznymi dvojicami týchto čísel - na prvom riadku pod čiarou sú postupne vzdialenosti medzi susednými číslami, na druhom riadku pod čiarou sú vzdialenosti medzi dvojicami čísel, ktoré sú ob jedno, atď. (Napr. 21 na treťom riadku pod čiarou značí skutočnú vzdialenosť medzi číslami 3 a 6 na kocúrkovskej osi a je určené ako 5 + 7 + 9). Hviezdičkou sú označené zbytočne veľké čísla, ktorá nás nezaujímajú.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1 3 5 7 9 11 13 15 17
4 8 12 16 20 24 28 32 36
9 15 21 27 33 39 * *
16 24 32 40 * * * *
25 35 45 * * * *
36 48 * * * * *
49 * * * * *
Ihneď vidíme (z tretieho riadku pod čiarou), že vzdialenosť 39 cm je medzi číslami 6 a 9 a že sa určite neobjavuje medzi číslami, ktoré sú na kocúrkovskej osi viac ako ob dve (od štvrtého riadku pod čiarou). Vzdialenosť 39 cm sa určite tiež nemôže objavovať medzi číslami, ktoré sú ob jedno, pretože všetky tieto vzdialenosti sú párne (druhý riadok pod čiarou). Zostáva teda preskúmať vzdialenosti medzi susednými číslami (prvý riadok pod čiarou):
Postupnosť vzdialenosťou medzi susednými číslami môžeme vyjadriť ako
1, 3 = 1 + 2, 5 = 1 + 2 · 2, 7 = 1 + 2 · 3, 9 = 1 + 2 · 4,. . .
Všeobecne, vzdialenosť medzi i-tím a (i + 1) -ným číslom na kocúrkovskej osi je rovná
1 + 2 (i - 1) = 2i - 1 (cm).
Táto vzdialenosť bude teda rovná 39 cm, práve keď i = 20. Vzdialenosť 39 cm na kocúrkovskej číselnej osi je medzi dvojicami čísel 6, 9 a 20, 21.
Poznámky.
a) Záverečnou úvahy možno nahradiť vypísaním a spočítaním všetkých nepárnych čísel až po 39. Ak je výpočet úplný, je takéto riešenie správne.
b) Naopak úvodnej vypisovanie možno celé nahradiť úvahou, príp. výpočtom: Všetky vzdialenosti v tabuľke sú súčtom rôznych počtov nepárnych čísel, pričom tieto počty sú buď nepárne (pre susedné čísla a dvojica čísel, ktoré sú ob párny počet čísel), alebo párne (pre dvojice čísel, ktoré sú ob nepárny počet čísiel). Na jednotlivých riadkoch sa teda objavujú buď len nepárne, alebo iba párne čísla. Vzdialenosť 39 cm sa teda môže objavovať iba medzi susednými číslami a dvojicami, ktoré sú na kocúrkovskej osi ob párny počet čísel.
Predchádzajúce vypisovanie postupnosti vzdialeností medzi susednými číslami má nasledujúce analógiu pre dvojice čísel, ktoré sú ob dve:
9, 15 = 9 + 6, 21 = 9 + 6 · 2, 27 = 9 + 6 · 3,. . .
Všeobecne, vzdialenosť medzi i-tím a (i + 3) -tým číslom na kocúrkovskej osi je rovná 9 + 6 (i - 1) = 6i + 3 (cm).
Táto vzdialenosť bude teda rovná 39 cm, práve keď i = 6. Obdobne možno vyjadriť akúkoľvek inú vyššie vypisovanie postupnosť.
c) Riešenie úlohy možno zjednodušiť pomocou nasledujúceho poznatku: Súčet nepárneho počtu po sebe idúcich nepárnych čísel je rovný súčinu počtu týchto čísel a prostredného z nich. Zvedavým riešiteľom odporúčame tento poznatok zdôvodniť a riešenie domyslieť.
d) V uvedenej schéme si môžeme všimnúť, že všetky čísla v prvom šikmom stĺpci sú druhými mocninami prirodzených čísel. To nie je náhoda - všeobecne platí, že súčet prvých k po sebe idúcich nepárnych čísel je rovný k2. Zvedavým riešiteľom odporúčame porovnať toto tvrdenie s poznatkom v predchádzajúcej poznámke.
Možné riešenie.
Vzdialenosť 39 cm môže byť realizovaná medzi rôznymi dvojicami čísel. Budeme systematicky vypisovať vzdialenosti medzi niekoľkými prvými číslami kocúrkovskej osi. V nasledujúcej schéme je nad čiarou vypísané prvých 10 čísiel a pod čiarou skutočnej vzdialenosti (v cm) medzi rôznymi dvojicami týchto čísel - na prvom riadku pod čiarou sú postupne vzdialenosti medzi susednými číslami, na druhom riadku pod čiarou sú vzdialenosti medzi dvojicami čísel, ktoré sú ob jedno, atď. (Napr. 21 na treťom riadku pod čiarou značí skutočnú vzdialenosť medzi číslami 3 a 6 na kocúrkovskej osi a je určené ako 5 + 7 + 9). Hviezdičkou sú označené zbytočne veľké čísla, ktorá nás nezaujímajú.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1 3 5 7 9 11 13 15 17
4 8 12 16 20 24 28 32 36
9 15 21 27 33 39 * *
16 24 32 40 * * * *
25 35 45 * * * *
36 48 * * * * *
49 * * * * *
Ihneď vidíme (z tretieho riadku pod čiarou), že vzdialenosť 39 cm je medzi číslami 6 a 9 a že sa určite neobjavuje medzi číslami, ktoré sú na kocúrkovskej osi viac ako ob dve (od štvrtého riadku pod čiarou). Vzdialenosť 39 cm sa určite tiež nemôže objavovať medzi číslami, ktoré sú ob jedno, pretože všetky tieto vzdialenosti sú párne (druhý riadok pod čiarou). Zostáva teda preskúmať vzdialenosti medzi susednými číslami (prvý riadok pod čiarou):
Postupnosť vzdialenosťou medzi susednými číslami môžeme vyjadriť ako
1, 3 = 1 + 2, 5 = 1 + 2 · 2, 7 = 1 + 2 · 3, 9 = 1 + 2 · 4,. . .
Všeobecne, vzdialenosť medzi i-tím a (i + 1) -ným číslom na kocúrkovskej osi je rovná
1 + 2 (i - 1) = 2i - 1 (cm).
Táto vzdialenosť bude teda rovná 39 cm, práve keď i = 20. Vzdialenosť 39 cm na kocúrkovskej číselnej osi je medzi dvojicami čísel 6, 9 a 20, 21.
Poznámky.
a) Záverečnou úvahy možno nahradiť vypísaním a spočítaním všetkých nepárnych čísel až po 39. Ak je výpočet úplný, je takéto riešenie správne.
b) Naopak úvodnej vypisovanie možno celé nahradiť úvahou, príp. výpočtom: Všetky vzdialenosti v tabuľke sú súčtom rôznych počtov nepárnych čísel, pričom tieto počty sú buď nepárne (pre susedné čísla a dvojica čísel, ktoré sú ob párny počet čísel), alebo párne (pre dvojice čísel, ktoré sú ob nepárny počet čísiel). Na jednotlivých riadkoch sa teda objavujú buď len nepárne, alebo iba párne čísla. Vzdialenosť 39 cm sa teda môže objavovať iba medzi susednými číslami a dvojicami, ktoré sú na kocúrkovskej osi ob párny počet čísel.
Predchádzajúce vypisovanie postupnosti vzdialeností medzi susednými číslami má nasledujúce analógiu pre dvojice čísel, ktoré sú ob dve:
9, 15 = 9 + 6, 21 = 9 + 6 · 2, 27 = 9 + 6 · 3,. . .
Všeobecne, vzdialenosť medzi i-tím a (i + 3) -tým číslom na kocúrkovskej osi je rovná 9 + 6 (i - 1) = 6i + 3 (cm).
Táto vzdialenosť bude teda rovná 39 cm, práve keď i = 6. Obdobne možno vyjadriť akúkoľvek inú vyššie vypisovanie postupnosť.
c) Riešenie úlohy možno zjednodušiť pomocou nasledujúceho poznatku: Súčet nepárneho počtu po sebe idúcich nepárnych čísel je rovný súčinu počtu týchto čísel a prostredného z nich. Zvedavým riešiteľom odporúčame tento poznatok zdôvodniť a riešenie domyslieť.
d) V uvedenej schéme si môžeme všimnúť, že všetky čísla v prvom šikmom stĺpci sú druhými mocninami prirodzených čísel. To nie je náhoda - všeobecne platí, že súčet prvých k po sebe idúcich nepárnych čísel je rovný k2. Zvedavým riešiteľom odporúčame porovnať toto tvrdenie s poznatkom v predchádzajúcej poznámke.
Na vyriešenie tejto úlohy sú potrebné tieto znalosti z matematiky:
Súvisiace a podobné príklady:
- Bazén 46
Bazén v tvare kvádra. Dĺžka 50m, šírka 25m, hĺbka 3,5m. Koľko hl vody je v bazéne keď je naplnený 50cm pod okraj? Koľko EUR zaplatíte za vymalovanie bazéna zvnútra, keď budeme robiť dva nátery a za 1m² zaplatíte 50centov? - Na záhrade 2
Na záhrade tvaru lichobežníka, ktorý má základne dlhé 30 m a 20 m a výšku dlhú 20 m, napršalo 10 mm vody. Koľko vedier vody by sme potrebovali na rovnako výdatné poliatie záhrady, ak má vedro objem 15 l? - Kruh odsek/úsek
Kruh s priemerom 30 cm je preťať tetivou t = 16 cm. Vypočítajte obvod a obsah menšieho odseku. - Zložený pomer 2
Traja spolubývajúci sa rozhodli rozdeliť účet za elektrinu podľa času stráveného za PC. Čas Adama a Braňa je v pomere 1:4 a Braňa a Damiána je v pomere 2:5. V akom pomere je čas všetkých troch chlapcov strávený pri PC? Koľko zaplatí Adam, ak spolu platia
- V ubytovni
V turistickej ubytovni spalo 44 žiakov v ôsmich izbách, niektoré boli štvorlôžkové, iné šiestich lôžkové, Koľko štvorlôžkových a kolík šiestich lôžkových izieb bolo v ubytovni, keď dve lôžka boli prázdne? - Spravodlivo 4
Vnučka Mia pomahala starkej 3 dní, Ema 2 dní a Zoja 4 dní. V akom pomerne ma starká rozdeliť čokoládu medzi vnučky, ak ich chce spravodlivo odmeniť podľa toho, ako dlho jej pomáhali.? - Dĺžky 11
Dĺžky hrán kvádra kvádra sú v pomere 1:2:3. Vypočítaj ich dĺžku, ak viete že povrch celého kvádra je S=5632 m². Vzkonajte skúšku správnosti výpočtu. - Puk - hokej
Hokejový brankár dostal za zápas 6 gólov. Úspešnosť jeho zákrokov bola 80%. Koľko striel chytil za zápas? - Hod kockou 2
Päťkrát hodíme kockou . Napíš: a) 3 udalosti ktoré určite nemôžu nastať. Pri každej napíš dôvod. b) 3 udalosti ktoré určite nastanú pri každej napísať dôvod. A ďalšia úloha je 3 udalosti ktoré môžu ale nemusia nastať pri každej napísať dôvod.
- Objem 41
Objem pravidelného štvorbokého ihlanu je 72 cm³.Jeho výška sa rovná dĺžke podstavnej hrany. Vypočítaj dĺžku podstavnej a povrch ihlana. - Povrch 31
Povrch kvádra je S = 1714 cm / štvorcových/ Hrany majú dlžky 25 a 14 cm. Vypočítajte jeho objem. - Päť hostí
Koľkými spôsobmi môžeme usadiť za stôl päť hostí, z ktorých dvaja sú manželia a chcú sedieť vedľa seba? - Kosodĺžnik výšky
Vypočítaj výšku kosodĺžnika ABCD na stranu BC, ak je AB=7cm, BC=5,5cm a výška prvej strany na AB=4,4cm - Na číselnej osi 2
Zobraz na číselnej osi všetky reálne čísla, ktoré sú väčšie, alebo sa rovnajú dvom a zároveň sú menšie ako 5.
- Hrušiek 83295
Cena 6 kg hrušiek je o 77 Kč vyššia ako cena 5 kg jabĺk. Cena 6 kg jabĺk je rovnaká ako cena 5 kg hrušiek. Koľko stojí 2 kg jabĺk? - Cukríky
Jana a Klára si rozdelili cukríky v pomere 15 : 18. Klára dostala 90 cukríkov. Koľko bolo všetkých cukríkov? - Na mechanickú prácu
Petra tlačila kreslo z jednej izby do druhej silou 60N. Vykonávala pri tom prácu 300 J .Ako ďaleko Petra kreslo odtlačila?