C – I – 3 MO 2018

Nech a, b, c sú kladné reálne čísla, ktorých súčet je 3, a každé z nich je nanajvýš 2.

Dokážte, že platí nerovnosť:

a2 + b2 + c2 + 3abc < 9

Výsledok

d =  1

Riešenie:

Textové riešenie d =







Napíšte nám komentár ku príkladu a riešeniu (napríklad ak je stále niečo nejasné...):

Zobrazujem 4 komentáre:
#1
Žiak
a=b=c=2 predsa neplatí, keďže a+b+c=3?

#2
Dr Math
to je limittny pripad; a=b=c=2 pren plati ze lava strana sa rovna pravej.  Pre pripady a+b+c=3 je to L>P

#3
Dr Math
Návodné úlohy ( to sme nevymysleli my, ale asi autor prikladu):

N1. Pre reálne čísla so súčtom 3 platí navyše a2 + b2 + c2 = 5. Aké hodnoty môže nadobúdať výraz ab + bc + ca? [Keďže (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2 (ab + bc + ca), je nutne ab + bc + ca = 2. Hodnota je dosiahnuteľná vďaka trojici (2 , 1, 0).]

N2. Nezáporné reálne čísla a, b, c sú všetky neprekračovať 1. Dokážte, že 3abc <= a + b + c. Kedy nastane rovnosť? [Upravíme na a (1 - bc) + b (1 - ac) + c (1 - ab)> = 0, výrazy v zátvorkách sú nezáporné. Rovnosť nastane práve keď buď a = b = c = 0, alebo a = b = c = 1.]

D1. Dokážte, že pre reálne čísla a, b, c platí a2 + b2 + c2> = ab + bc + ca. Kedy nastane rovnosť? [Nerovnosť je ekvivalentná s (a - b)2 + (b - c)2 + (c - a)2 = 0, ktorá iste platí. Rovnosť nastane jedine v prípade a = b = c.]

D2. Reálne čísla a, b, c majú súčet 3. Dokážte, že 3 = ab + bc + ca. Kedy nastane rovnosť? [Plynie z rovnosti 9 = (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2 (ab + bc + ca) a z predošlej úlohy. Rovnosť nastane jedine v prípade a = b = c = 1.]

D3. Dokážte, že pre ľubovoľné reálne čísla x, y, z platí nerovnosť x2 + 5y2 + 4z2 = 4y (x + z), a zistite, kedy nastane rovnosť. [Anulujte pravú stranu danej nerovnosti a upravte ju následne do tvaru (x2 - 4xy + 4y2) + (y2 - 4yz + 4z2) = 0, kde na ľavej strane je nezáporný súčet (x - 2y)2 + (y - 2z)2. Rovnosť tu nastane práve vtedy, keď platí (x, y, z) = (4c, 2c, c), kde c je ľubovoľné reálne číslo.]

D4. Nech a, b, c sú dĺžky strán trojuholníka. Dokážte, že platí nerovnosť 3a2 + 2BC> 2ab + 2AC. [Danú nerovnosť upravte na tvar a 2 - (b-c)2 + (a-b)2 + (a-c)2> 0 a rozdiel prvých dvoch druhých mocnín nahraďte príslušným súčinom.]

#4
Žiak
Čo znamená že d=1?

5 mesiacov  1 Like
avatar









Ďaľšie podobné príklady:

  1. Im>0?
    ReIm Je číslo 6i kladné?
  2. Koza 4
    bielakoza Slnko vychádza na východe od prístrešku a zapadá na západe. Koze by sa zišlo trochu tieňa, kde a aký druh stromu treba zasadiť , aby ho neobjedla?
  3. Dôkaz sporom
    thales_1 Chceme dokázať sporom tvrdenie: Ak je prirodzené číslo n deliteľné šiestimi, potom je n deliteľné tromi. Z akého predpokladu budeme vychádzať?
  4. Konzervy 2
    konzervy_gecko Konzervy sú uložené v n-vrsvách nad sebou podľa aritmetickej postupnosti. V desiatej vrstve je 37 konzerv a spolu vo všetkých desiatich vrstvách je 190 konzerv. Koľko konzerv je v prvej vrstve? b) spolu vo všetkých n vrstvách c) vyjadrite da nú postupno
  5. Podivná GP
    sequence_geo_4 Vypočítajte a3 GP, ak viete že q=4 a a1+a2+a3=89,25 a a4=272.
  6. Prvý a tretí člen
    stat_1 Určte prvý a tretí člen GP, ak q=-8,a a2+a5=8176
  7. Geometrická
    math-geometric Určte tretí člen a kvocient GP, ak a2=-3, a1+a2=-2,5
  8. Členy
    seq2_2 Určte deviaty člen a diferenciu AP, ak a3=4,8 a a2+a3=8.
  9. Z dvoch po sebe idúcich
    seq2_4 Určte kvocient GP, ak a1=-0,8 a a1+a2=0,64.
  10. AP - tri členy
    fun2_2 Určte diferenciu AP, ak a1=-1,5 a a2+a3=2,7.
  11. Diferencia AP
    postupnost1_2 Určte diferenciu AP, ak a1=-7,5 a a1+a2=4,8.
  12. Štvrtý člen GP
    fun3_1 Určte štvrtý člen GP, ak q=4 a a1+a3=5,44
  13. Vyjadrovačka
    divne_1 Určte dvadsiatyprvý člen a diferenciu AP, ak a1=0,12 a a1+a2=0,42.
  14. Pomer
    geometric_2 Určte podiel prvého a druhého člena GP, ak q=-0,3, a a3=5,4.
  15. MO-I-Z6
    stvorec_4 Štvorec so stranou 4 cm je rozdelený na štvorčeky so stranou 1 cm ako na obrázku. Rozdeľte štvorec pozdĺž vyznačených čiar na dva útvary s obvodom 16 cm. Nájdite aspoň tri rôzne riešenia (tzn. také tri riešenia, aby žiadny útvar jedného riešenia nebol zhod
  16. Predošlý člen
    seq_6 Určte tretí člen AP, ak a4=93, d=7,5.
  17. Inverzná funckia
    inverse Z f: y=4x+5 spravte inverznú funkciu.