C – I – 3 MO 2018
Nech a, b, c sú kladné reálne čísla, ktorých súčet je 3, a každé z nich je nanajvýš 2.
Dokážte, že platí nerovnosť:
a2 + b2 + c2 + 3abc < 9
Dokážte, že platí nerovnosť:
a2 + b2 + c2 + 3abc < 9
Správna odpoveď:
Zobrazujem 4 komentáre:
Dr Math
to je limittny pripad; a=b=c=2 pren plati ze lava strana sa rovna pravej. Pre pripady a+b+c=3 je to L>P
5 rokov 1 Like
Dr Math
Návodné úlohy ( to sme nevymysleli my, ale asi autor prikladu):
N1. Pre reálne čísla so súčtom 3 platí navyše a2 + b2 + c2 = 5. Aké hodnoty môže nadobúdať výraz ab + bc + ca? [Keďže (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2 (ab + bc + ca), je nutne ab + bc + ca = 2. Hodnota je dosiahnuteľná vďaka trojici (2 , 1, 0).]
N2. Nezáporné reálne čísla a, b, c sú všetky neprekračovať 1. Dokážte, že 3abc <= a + b + c. Kedy nastane rovnosť? [Upravíme na a (1 - bc) + b (1 - ac) + c (1 - ab)> = 0, výrazy v zátvorkách sú nezáporné. Rovnosť nastane práve keď buď a = b = c = 0, alebo a = b = c = 1.]
D1. Dokážte, že pre reálne čísla a, b, c platí a2 + b2 + c2> = ab + bc + ca. Kedy nastane rovnosť? [Nerovnosť je ekvivalentná s (a - b)2 + (b - c)2 + (c - a)2 = 0, ktorá iste platí. Rovnosť nastane jedine v prípade a = b = c.]
D2. Reálne čísla a, b, c majú súčet 3. Dokážte, že 3 = ab + bc + ca. Kedy nastane rovnosť? [Plynie z rovnosti 9 = (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2 (ab + bc + ca) a z predošlej úlohy. Rovnosť nastane jedine v prípade a = b = c = 1.]
D3. Dokážte, že pre ľubovoľné reálne čísla x, y, z platí nerovnosť x2 + 5y2 + 4z2 = 4y (x + z), a zistite, kedy nastane rovnosť. [Anulujte pravú stranu danej nerovnosti a upravte ju následne do tvaru (x2 - 4xy + 4y2) + (y2 - 4yz + 4z2) = 0, kde na ľavej strane je nezáporný súčet (x - 2y)2 + (y - 2z)2. Rovnosť tu nastane práve vtedy, keď platí (x, y, z) = (4c, 2c, c), kde c je ľubovoľné reálne číslo.]
D4. Nech a, b, c sú dĺžky strán trojuholníka. Dokážte, že platí nerovnosť 3a2 + 2BC> 2ab + 2AC. [Danú nerovnosť upravte na tvar a 2 - (b-c)2 + (a-b)2 + (a-c)2> 0 a rozdiel prvých dvoch druhých mocnín nahraďte príslušným súčinom.]
N1. Pre reálne čísla so súčtom 3 platí navyše a2 + b2 + c2 = 5. Aké hodnoty môže nadobúdať výraz ab + bc + ca? [Keďže (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2 (ab + bc + ca), je nutne ab + bc + ca = 2. Hodnota je dosiahnuteľná vďaka trojici (2 , 1, 0).]
N2. Nezáporné reálne čísla a, b, c sú všetky neprekračovať 1. Dokážte, že 3abc <= a + b + c. Kedy nastane rovnosť? [Upravíme na a (1 - bc) + b (1 - ac) + c (1 - ab)> = 0, výrazy v zátvorkách sú nezáporné. Rovnosť nastane práve keď buď a = b = c = 0, alebo a = b = c = 1.]
D1. Dokážte, že pre reálne čísla a, b, c platí a2 + b2 + c2> = ab + bc + ca. Kedy nastane rovnosť? [Nerovnosť je ekvivalentná s (a - b)2 + (b - c)2 + (c - a)2 = 0, ktorá iste platí. Rovnosť nastane jedine v prípade a = b = c.]
D2. Reálne čísla a, b, c majú súčet 3. Dokážte, že 3 = ab + bc + ca. Kedy nastane rovnosť? [Plynie z rovnosti 9 = (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2 (ab + bc + ca) a z predošlej úlohy. Rovnosť nastane jedine v prípade a = b = c = 1.]
D3. Dokážte, že pre ľubovoľné reálne čísla x, y, z platí nerovnosť x2 + 5y2 + 4z2 = 4y (x + z), a zistite, kedy nastane rovnosť. [Anulujte pravú stranu danej nerovnosti a upravte ju následne do tvaru (x2 - 4xy + 4y2) + (y2 - 4yz + 4z2) = 0, kde na ľavej strane je nezáporný súčet (x - 2y)2 + (y - 2z)2. Rovnosť tu nastane práve vtedy, keď platí (x, y, z) = (4c, 2c, c), kde c je ľubovoľné reálne číslo.]
D4. Nech a, b, c sú dĺžky strán trojuholníka. Dokážte, že platí nerovnosť 3a2 + 2BC> 2ab + 2AC. [Danú nerovnosť upravte na tvar a 2 - (b-c)2 + (a-b)2 + (a-c)2> 0 a rozdiel prvých dvoch druhých mocnín nahraďte príslušným súčinom.]
5 rokov 1 Like
Na vyriešenie tejto úlohy sú potrebné tieto znalosti z matematiky:
Súvisiace a podobné príklady:
- Tri čísla 8
Tri čísla, ktoré tvoria aritmetickú postupnosť, majú súčet 30. Ak odčítame od prvého 5, od druhého 4 a tretie ponecháme, dostaneme geometrickú postupnosť. Urči členy AP aj GP. - Slávkine čísla
Slávka si napísala farebnými fixkami štyri rôzne prirodzené čísla: červené, modré, zelené a žlté. Keď červené číslo vydelí modrým, dostane ako neúplný podiel zelené číslo a žlté predstavuje zvyšok po tomto delení. Keď vydelí modré číslo zeleným, vyjde jej - V hoteli 2
V hoteli Holiday majú na každom poschodí rovnaký počet izieb. Izby sú číslované prirodzenými číslami postupne od prvého poschodia, žiadne číslo nie je vynechané a každá izba má iné číslo. Do hotela pricestovali traja turisti. Prvý sa ubytoval v izbe číslo - MO Z9–I–3 - 2017
Roboti Róbert a Hubert skladajú a rozoberajú mlynčeky na kávu. Pritom každý z nich mlynček zloží štyrikrát rýchlejšie, ako ho sám rozoberie. Keď ráno prišli do dielne, niekoľko mlynčekov už tam bolo zložených. O 7:00 začal Hubert skladať a Róbert rozobera - Určte 7
Určte zvyšné veličiny v konečnej geometrickej postupnosti, ak je dané: a1 = 5, an = 320, sn = 635, n=?, q=? - Konečná GP
Určte zvyšné veličiny v konečnej geometrickej postupnosti, ak je dané: a1=18, an=13122, sn=19674, n=?, q=? - Geometrická 11
Geometrická postupnosť so šiestimi členmi má súčet všetkých šiestich členov rovnajúci sa 63; súčet párnych členov má hodnotu 42. Určte tieto členy. - Ak odpočítame
Ak odpočítame od čísel 33, 45 a 63 to isté číslo, dostaneme tri za sebou idúce členy GP. Určte túto GP a vypočítajte jej piaty člen. - V rotačnom 2
V rotačnom valci je dané: povrch plášťa (bez podstáv) S= 96 cm² a objem V= 192 cm kubických. Výpočitajte polomer a výšku tohto valca. - V rotačnom
V rotačnom valci je dané: povrch S= 96 cm² a objem V= 192 cm kubických. Výpočitajte jeho polomer a výšku. - Stenové uhlopriečky
Ak sú stenové uhlopriečky kvádra x, y a z (diagonály), potom nájdite objem kvádra. Vyriešte pre x=1,3, y=1,2, z=1,1 - Dve tetivy 3
Vypočítajte dĺžku tetivy AB a k nej kolmej tetivy BC, ak tetiva AB je od stredu kružnice k vzdialená 4 cm a tetiva BC má vzdialenosť 8 cm. - MO Z9-I-6 2019
Kristína zvolila isté nepárne prirodzené číslo deliteľné tromi. Jakub s Dávidom potom skúmali trojuholníky, ktoré majú obvod v milimetroch rovný Kristínou zvolenému číslu a ktorých strany majú dĺžky v milimetroch vyjadrené navzájom rôznymi celými číslami. - Matik - KSM
V kuchárskej knihe od Mateja Matemakaka sa písalo: najväčší spoločný deliteľ gramáže múky a gramáže cukru je 15, najväčší spoločný deliteľ gramáže cukru a gramáže citrónovej kôry je 6, súčin gramáže cukru a gramáže citrónovej kôry je 1800, najmenší spoloč - V Kocúrkove - Z8-I-6 2019 MO
V Kocúrkove používajú mince iba s dvoma hodnotami, ktoré sú vyjadrené v kocúrkovských korunách kladnými celými číslami. Pomocou dostatočného množstva takých mincí je možné zaplatiť akúkoľvek celočíselnú sumu väčšiu ako 53 kocúrkovských korún, a to presne - GP tri členy
Druhý a tretí člen geometrickej postupnosti sú 24 a 12(c+1) v tomto poradí. Za predpokladu, že súčet prvých troch členov postupnosti je 76, určite hodnotu c. - Rovnica hyperboly
Napíšte rovnicu hyperboly so stredom S[0;0], ktorá prechádza bodmi: A[5;3] B[8; -10]