Trojuholník 10 10 11
Ostrouhlý rovnoramenný trojuholník.
Strany: a = 10 b = 10 c = 11Obsah trojuholníka: S = 45,93440559933
Obvod trojuholníka: o = 31
Semiperimeter (poloobvod): s = 15,5
Uhol ∠ A = α = 56,63329870308° = 56°37'59″ = 0,98884320889 rad
Uhol ∠ B = β = 56,63329870308° = 56°37'59″ = 0,98884320889 rad
Uhol ∠ C = γ = 66,73440259385° = 66°44'3″ = 1,16547284757 rad
Výška trojuholníka: va = 9,18768111987
Výška trojuholníka: vb = 9,18768111987
Výška trojuholníka: vc = 8,35216465442
Ťažnica: ta = 9,24766210045
Ťažnica: tb = 9,24766210045
Ťažnica: tc = 8,35216465442
Polomer vpísanej kružnice: r = 2,96334874834
Polomer opísanej kružnice: R = 5,98768434009
Súradnice vrcholov: A[11; 0] B[0; 0] C[5,5; 8,35216465442]
Ťažisko: T[5,5; 2,78438821814]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[5,5; 2,36548031434]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[5,5; 2,96334874834]
Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 123,36770129692° = 123°22'1″ = 0,98884320889 rad
∠ B' = β' = 123,36770129692° = 123°22'1″ = 0,98884320889 rad
∠ C' = γ' = 113,26659740615° = 113°15'57″ = 1,16547284757 rad
Vypočítať ďaľší trojuholník
Ako sme vypočítali tento trojuholník?
Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.
a=10 b=10 c=11
1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán
o=a+b+c=10+10+11=31
2. Polovičný obvod trojuholníka
Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.s=2o=231=15,5
3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca
Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=15,5(15,5−10)(15,5−10)(15,5−11) S=2109,94=45,93
4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.
Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.S=2ava va=a2 S=102⋅ 45,93=9,19 vb=b2 S=102⋅ 45,93=9,19 vc=c2 S=112⋅ 45,93=8,35
5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety
Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 10⋅ 11102+112−102)=56°37′59" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 10⋅ 11102+112−102)=56°37′59" γ=180°−α−β=180°−56°37′59"−56°37′59"=66°44′3"
6. Polomer vpísanej kružnice
Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.S=rs r=sS=15,545,93=2,96
7. Polomer opísanej kružnice
Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.R=4 rsabc=4⋅ 2,963⋅ 15,510⋅ 10⋅ 11=5,99
8. Výpočet ťažníc
Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 102+2⋅ 112−102=9,247 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 112+2⋅ 102−102=9,247 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 102+2⋅ 102−112=8,352
Vypočítať ďaľší trojuholník