Trojuholník 10 10 13
Ostrouhlý rovnoramenný trojuholník.
Strany: a = 10 b = 10 c = 13Obsah trojuholníka: S = 49,39657234991
Obvod trojuholníka: o = 33
Semiperimeter (poloobvod): s = 16,5
Uhol ∠ A = α = 49,45883981265° = 49°27'30″ = 0,86332118901 rad
Uhol ∠ B = β = 49,45883981265° = 49°27'30″ = 0,86332118901 rad
Uhol ∠ C = γ = 81,0833203747° = 81°5' = 1,41551688735 rad
Výška trojuholníka: va = 9,87991446998
Výška trojuholníka: vb = 9,87991446998
Výška trojuholníka: vc = 7,59993420768
Ťažnica: ta = 10,46442247682
Ťažnica: tb = 10,46442247682
Ťažnica: tc = 7,59993420768
Polomer vpísanej kružnice: r = 2,99436802121
Polomer opísanej kružnice: R = 6,58795169496
Súradnice vrcholov: A[13; 0] B[0; 0] C[6,5; 7,59993420768]
Ťažisko: T[6,5; 2,53331140256]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[6,5; 1,02198251272]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[6,5; 2,99436802121]
Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 130,54216018735° = 130°32'30″ = 0,86332118901 rad
∠ B' = β' = 130,54216018735° = 130°32'30″ = 0,86332118901 rad
∠ C' = γ' = 98,9176796253° = 98°55' = 1,41551688735 rad
Vypočítať ďaľší trojuholník
Ako sme vypočítali tento trojuholník?
Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.
a=10 b=10 c=13
1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán
o=a+b+c=10+10+13=33
2. Polovičný obvod trojuholníka
Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.s=2o=233=16,5
3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca
Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=16,5(16,5−10)(16,5−10)(16,5−13) S=2439,94=49,4
4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.
Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.S=2ava va=a2 S=102⋅ 49,4=9,88 vb=b2 S=102⋅ 49,4=9,88 vc=c2 S=132⋅ 49,4=7,6
5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety
Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 10⋅ 13102+132−102)=49°27′30" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 10⋅ 13102+132−102)=49°27′30" γ=180°−α−β=180°−49°27′30"−49°27′30"=81°5′
6. Polomer vpísanej kružnice
Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.S=rs r=sS=16,549,4=2,99
7. Polomer opísanej kružnice
Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.R=4 rsabc=4⋅ 2,994⋅ 16,510⋅ 10⋅ 13=6,58
8. Výpočet ťažníc
Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 102+2⋅ 132−102=10,464 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 132+2⋅ 102−102=10,464 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 102+2⋅ 102−132=7,599
Vypočítať ďaľší trojuholník