Trojuholník 10 11 12

Ostrouhlý rôznostranný trojuholník.

Strany: a = 10 b = 11 c = 12

Obsah trojuholníka: S = 51,52112334868
Obvod trojuholníka: o = 33
Semiperimeter (poloobvod): s = 16,5

Uhol ∠ A = α = 51,31878125465° = 51°19'4″ = 0,89656647939 rad
Uhol ∠ B = β = 59,17695025682° = 59°10'10″ = 1,03327026366 rad
Uhol ∠ C = γ = 69,51326848853° = 69°30'46″ = 1,21332252231 rad

Výška trojuholníka: v_a = 10,30442466974
Výška trojuholníka: v_b = 9,36774969976
Výška trojuholníka: v_c = 8,58768722478

Ťažnica: t_a = 10,36882206767
Ťažnica: t_b = 9,57986220303
Ťažnica: t_c = 8,63113382508

Polomer vpísanej kružnice: r = 3,12224989992
Polomer opísanej kružnice: R = 6,40551261522

Súradnice vrcholov: A[12; 0] B[0; 0] C[5,125; 8,58768722478]
Ťažisko: T[5,70883333333; 2,86222907493]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[6; 2,24217941533]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[5,5; 3,12224989992]

Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 128,68221874535° = 128°40'56″ = 0,89656647939 rad
∠ B' = β' = 120,83304974318° = 120°49'50″ = 1,03327026366 rad
∠ C' = γ' = 110,48773151147° = 110°29'14″ = 1,21332252231 rad

Vypočítať ďaľší trojuholník

Ako sme vypočítali tento trojuholník?

Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.

a = 10 b = 11 c = 12

1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán

o = a + b + c = 10 + 11 + 12 = 33

2. Polovičný obvod trojuholníka

Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{3 3}{2} = 16, 5

3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca

Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 16, 5 (16, 5 - 10) (16, 5 - 11) (16, 5 - 12) S = 2654, 44 = 51, 52

4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.

Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 5 1 , 5 2}{1 0} = 10, 3 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 5 1 , 5 2}{1 1} = 9, 37 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 5 1 , 5 2}{1 2} = 8, 59

5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety

Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{1 1 ^{2} + 1 2 ^{2} - 1 0 ^{2}}{2 \cdot 1 1 \cdot 1 2}) = 51 ° 1 9^{'} 4 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{1 0 ^{2} + 1 2 ^{2} - 1 1 ^{2}}{2 \cdot 1 0 \cdot 1 2}) = 59 ° 1 0^{'} 10 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 51 ° 1 9^{'} 4 " - 59 ° 1 0^{'} 10 " = 69 ° 3 0^{'} 46 "

6. Polomer vpísanej kružnice

Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{5 1 , 5 2}{1 6 , 5} = 3, 12

7. Polomer opísanej kružnice

Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{1 0 \cdot 1 1 \cdot 1 2}{4 \cdot 3 , 1 2 2 \cdot 1 6 , 5} = 6, 41

8. Výpočet ťažníc

Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 1 ^{2} + 2 \cdot 1 2 ^{2} - 1 0 ^{2}}{2} = 10, 368 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 2 ^{2} + 2 \cdot 1 0 ^{2} - 1 1 ^{2}}{2} = 9, 579 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 0 ^{2} + 2 \cdot 1 1 ^{2} - 1 2 ^{2}}{2} = 8, 631

Vypočítať ďaľší trojuholník