Trojuholník 10 11 20
Tupouhlý rôznostranný trojuholník.
Strany: a = 10 b = 11 c = 20Obsah trojuholníka: S = 31,97655766172
Obvod trojuholníka: o = 41
Semiperimeter (poloobvod): s = 20,5
Uhol ∠ A = α = 16,89990937835° = 16°53'57″ = 0,29549448271 rad
Uhol ∠ B = β = 18,64881553056° = 18°38'53″ = 0,32554717095 rad
Uhol ∠ C = γ = 144,45327509109° = 144°27'10″ = 2,5211176117 rad
Výška trojuholníka: va = 6,39551153234
Výška trojuholníka: vb = 5,81437412031
Výška trojuholníka: vc = 3,19875576617
Ťažnica: ta = 15,34660092532
Ťažnica: tb = 14,82439670804
Ťažnica: tc = 3,24403703492
Polomer vpísanej kružnice: r = 1,56597842252
Polomer opísanej kružnice: R = 17,20106280476
Súradnice vrcholov: A[20; 0] B[0; 0] C[9,475; 3,19875576617]
Ťažisko: T[9,825; 1,06658525539]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[10; -13,99550564569]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[9,5; 1,56597842252]
Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 163,10109062165° = 163°6'3″ = 0,29549448271 rad
∠ B' = β' = 161,35218446944° = 161°21'7″ = 0,32554717095 rad
∠ C' = γ' = 35,54772490891° = 35°32'50″ = 2,5211176117 rad
Vypočítať ďaľší trojuholník
Ako sme vypočítali tento trojuholník?
Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.
a=10 b=11 c=20
1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán
o=a+b+c=10+11+20=41
2. Polovičný obvod trojuholníka
Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.s=2o=241=20,5
3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca
Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=20,5(20,5−10)(20,5−11)(20,5−20) S=1022,44=31,98
4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.
Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.S=2ava va=a2 S=102⋅ 31,98=6,4 vb=b2 S=112⋅ 31,98=5,81 vc=c2 S=202⋅ 31,98=3,2
5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety
Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 11⋅ 20112+202−102)=16°53′57" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 10⋅ 20102+202−112)=18°38′53" γ=180°−α−β=180°−16°53′57"−18°38′53"=144°27′10"
6. Polomer vpísanej kružnice
Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.S=rs r=sS=20,531,98=1,56
7. Polomer opísanej kružnice
Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.R=4 rsabc=4⋅ 1,56⋅ 20,510⋅ 11⋅ 20=17,2
8. Výpočet ťažníc
Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 112+2⋅ 202−102=15,346 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 202+2⋅ 102−112=14,824 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 102+2⋅ 112−202=3,24
Vypočítať ďaľší trojuholník