Trojuholník 10 12 16




Tupouhlý rôznostranný trojuholník.

Strany: a = 10   b = 12   c = 16

Obsah trojuholníka: S = 59,92549530663
Obvod trojuholníka: o = 38
Semiperimeter (poloobvod): s = 19

Uhol ∠ A = α = 38,62548328731° = 38°37'29″ = 0,67441305067 rad
Uhol ∠ B = β = 48,50991831443° = 48°30'33″ = 0,84766449633 rad
Uhol ∠ C = γ = 92,86659839826° = 92°51'58″ = 1,62108171836 rad

Výška trojuholníka: va = 11,98549906133
Výška trojuholníka: vb = 9,98774921777
Výška trojuholníka: vc = 7,49106191333

Ťažnica: ta = 13,22987565553
Ťažnica: tb = 11,91663752878
Ťažnica: tc = 7,61657731059

Polomer vpísanej kružnice: r = 3,15439448982
Polomer opísanej kružnice: R = 8,01100187891

Súradnice vrcholov: A[16; 0] B[0; 0] C[6,625; 7,49106191333]
Ťažisko: T[7,54216666667; 2,49768730444]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[8; -0,40105009395]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[7; 3,15439448982]

Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 141,3755167127° = 141°22'31″ = 0,67441305067 rad
∠ B' = β' = 131,49108168557° = 131°29'27″ = 0,84766449633 rad
∠ C' = γ' = 87,13440160174° = 87°8'2″ = 1,62108171836 rad

Vypočítať ďaľší trojuholník

Ako sme vypočítali tento trojuholník?


Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.
a=10 b=12 c=16

1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán

o=a+b+c=10+12+16=38

2. Polovičný obvod trojuholníka

Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.

s=2o=238=19

3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca

Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.

S=s(sa)(sb)(sc) S=19(1910)(1912)(1916) S=3591=59,92

4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.

Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.

S=2ava  va=a2 S=102 59,92=11,98 vb=b2 S=122 59,92=9,99 vc=c2 S=162 59,92=7,49

5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety

Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.

a2=b2+c22bccosα  α=arccos(2bcb2+c2a2)=arccos(2 12 16122+162102)=38°3729"  b2=a2+c22accosβ β=arccos(2aca2+c2b2)=arccos(2 10 16102+162122)=48°3033" γ=180°αβ=180°38°3729"48°3033"=92°5158"

6. Polomer vpísanej kružnice

Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.

S=rs r=sS=1959,92=3,15

7. Polomer opísanej kružnice

Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.

R=4 rsabc=4 3,154 1910 12 16=8,01

8. Výpočet ťažníc

Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.

ta=22b2+2c2a2=22 122+2 162102=13,229 tb=22c2+2a2b2=22 162+2 102122=11,916 tc=22a2+2b2c2=22 102+2 122162=7,616

Vypočítať ďaľší trojuholník