Trojuholník 10 12 17

Tupouhlý rôznostranný trojuholník.

Strany: a = 10 b = 12 c = 17

Obsah trojuholníka: S = 58,93658761706
Obvod trojuholníka: o = 39
Semiperimeter (poloobvod): s = 19,5

Uhol ∠ A = α = 35,2966144734° = 35°17'46″ = 0,61660339389 rad
Uhol ∠ B = β = 43,89769323912° = 43°53'49″ = 0,76661460018 rad
Uhol ∠ C = γ = 100,80769228749° = 100°48'25″ = 1,7599412713 rad

Výška trojuholníka: v_a = 11,78771752341
Výška trojuholníka: v_b = 9,82326460284
Výška trojuholníka: v_c = 6,93436324907

Ťažnica: t_a = 13,83883525031
Ťažnica: t_b = 12,5989678312
Ťažnica: t_c = 7,05333679898

Polomer vpísanej kružnice: r = 3,02223526241
Polomer opísanej kružnice: R = 8,65334727765

Súradnice vrcholov: A[17; 0] B[0; 0] C[7,20658823529; 6,93436324907]
Ťažisko: T[8,0698627451; 2,31112108302]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[8,5; -1,62325261456]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[7,5; 3,02223526241]

Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 144,7043855266° = 144°42'14″ = 0,61660339389 rad
∠ B' = β' = 136,10330676088° = 136°6'11″ = 0,76661460018 rad
∠ C' = γ' = 79,19330771251° = 79°11'35″ = 1,7599412713 rad

Vypočítať ďaľší trojuholník

Ako sme vypočítali tento trojuholník?

Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.

a = 10 b = 12 c = 17

1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán

o = a + b + c = 10 + 12 + 17 = 39

2. Polovičný obvod trojuholníka

Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{3 9}{2} = 19, 5

3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca

Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 19, 5 (19, 5 - 10) (19, 5 - 12) (19, 5 - 17) S = 3473, 44 = 58, 94

4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.

Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 5 8 , 9 4}{1 0} = 11, 79 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 5 8 , 9 4}{1 2} = 9, 82 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 5 8 , 9 4}{1 7} = 6, 93

5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety

Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{1 2 ^{2} + 1 7 ^{2} - 1 0 ^{2}}{2 \cdot 1 2 \cdot 1 7}) = 35 ° 1 7^{'} 46 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{1 0 ^{2} + 1 7 ^{2} - 1 2 ^{2}}{2 \cdot 1 0 \cdot 1 7}) = 43 ° 5 3^{'} 49 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 35 ° 1 7^{'} 46 " - 43 ° 5 3^{'} 49 " = 100 ° 4 8^{'} 25 "

6. Polomer vpísanej kružnice

Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{5 8 , 9 4}{1 9 , 5} = 3, 02

7. Polomer opísanej kružnice

Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{1 0 \cdot 1 2 \cdot 1 7}{4 \cdot 3 , 0 2 2 \cdot 1 9 , 5} = 8, 65

8. Výpočet ťažníc

Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 2 ^{2} + 2 \cdot 1 7 ^{2} - 1 0 ^{2}}{2} = 13, 838 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 7 ^{2} + 2 \cdot 1 0 ^{2} - 1 2 ^{2}}{2} = 12, 59 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 0 ^{2} + 2 \cdot 1 2 ^{2} - 1 7 ^{2}}{2} = 7, 053

Vypočítať ďaľší trojuholník