Trojuholník 10 12 21

Tupouhlý rôznostranný trojuholník.

Strany: a = 10 b = 12 c = 21

Obsah trojuholníka: S = 34,2770067114
Obvod trojuholníka: o = 43
Semiperimeter (poloobvod): s = 21,5

Uhol ∠ A = α = 15,78223998562° = 15°46'57″ = 0,27554548414 rad
Uhol ∠ B = β = 19,04992993211° = 19°2'57″ = 0,33224729934 rad
Uhol ∠ C = γ = 145,16883008227° = 145°10'6″ = 2,53436648189 rad

Výška trojuholníka: v_a = 6,85440134228
Výška trojuholníka: v_b = 5,71216778523
Výška trojuholníka: v_c = 3,26438159156

Ťažnica: t_a = 16,35554272338
Ťažnica: t_b = 15,31333928311
Ťažnica: t_c = 3,42878273002

Polomer vpísanej kružnice: r = 1,594395661
Polomer opísanej kružnice: R = 18,38333897349

Súradnice vrcholov: A[21; 0] B[0; 0] C[9,45223809524; 3,26438159156]
Ťažisko: T[10,15107936508; 1,08879386385]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[10,5; -15,09896990741]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[9,5; 1,594395661]

Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 164,21876001438° = 164°13'3″ = 0,27554548414 rad
∠ B' = β' = 160,95107006789° = 160°57'3″ = 0,33224729934 rad
∠ C' = γ' = 34,83216991773° = 34°49'54″ = 2,53436648189 rad

Vypočítať ďaľší trojuholník

Ako sme vypočítali tento trojuholník?

Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.

a = 10 b = 12 c = 21

1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán

o = a + b + c = 10 + 12 + 21 = 43

2. Polovičný obvod trojuholníka

Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{4 3}{2} = 21, 5

3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca

Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 21, 5 (21, 5 - 10) (21, 5 - 12) (21, 5 - 21) S = 1174, 44 = 34, 27

4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.

Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 3 4 , 2 7}{1 0} = 6, 85 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 3 4 , 2 7}{1 2} = 5, 71 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 3 4 , 2 7}{2 1} = 3, 26

5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety

Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{1 2 ^{2} + 2 1 ^{2} - 1 0 ^{2}}{2 \cdot 1 2 \cdot 2 1}) = 15 ° 4 6^{'} 57 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{1 0 ^{2} + 2 1 ^{2} - 1 2 ^{2}}{2 \cdot 1 0 \cdot 2 1}) = 19 ° 2^{'} 57 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 15 ° 4 6^{'} 57 " - 19 ° 2^{'} 57 " = 145 ° 1 0^{'} 6 "

6. Polomer vpísanej kružnice

Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{3 4 , 2 7}{2 1 , 5} = 1, 59

7. Polomer opísanej kružnice

Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{1 0 \cdot 1 2 \cdot 2 1}{4 \cdot 1 , 5 9 4 \cdot 2 1 , 5} = 18, 38

8. Výpočet ťažníc

Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 2 ^{2} + 2 \cdot 2 1 ^{2} - 1 0 ^{2}}{2} = 16, 355 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2 1 ^{2} + 2 \cdot 1 0 ^{2} - 1 2 ^{2}}{2} = 15, 313 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 0 ^{2} + 2 \cdot 1 2 ^{2} - 2 1 ^{2}}{2} = 3, 428

Vypočítať ďaľší trojuholník