Trojuholník 10 13 17

Tupouhlý rôznostranný trojuholník.

Strany: a = 10 b = 13 c = 17

Obsah trojuholníka: S = 64,80774069841
Obvod trojuholníka: o = 40
Semiperimeter (poloobvod): s = 20

Uhol ∠ A = α = 35,90884892842° = 35°54'31″ = 0,62767213674 rad
Uhol ∠ B = β = 49,687978493° = 49°40'47″ = 0,86770758187 rad
Uhol ∠ C = γ = 94,41217257858° = 94°24'42″ = 1,64877954675 rad

Výška trojuholníka: v_a = 12,96114813968
Výška trojuholníka: v_b = 9,97703703052
Výška trojuholníka: v_c = 7,62444008217

Ťažnica: t_a = 14,28328568571
Ťažnica: t_b = 12,33989626793
Ťažnica: t_c = 7,8989866919

Polomer vpísanej kružnice: r = 3,24403703492
Polomer opísanej kružnice: R = 8,52552600854

Súradnice vrcholov: A[17; 0] B[0; 0] C[6,47105882353; 7,62444008217]
Ťažisko: T[7,82435294118; 2,54114669406]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[8,5; -0,65657892373]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[7; 3,24403703492]

Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 144,09215107158° = 144°5'29″ = 0,62767213674 rad
∠ B' = β' = 130,322021507° = 130°19'13″ = 0,86770758187 rad
∠ C' = γ' = 85,58882742142° = 85°35'18″ = 1,64877954675 rad

Vypočítať ďaľší trojuholník

Ako sme vypočítali tento trojuholník?

Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.

a = 10 b = 13 c = 17

1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán

o = a + b + c = 10 + 13 + 17 = 40

2. Polovičný obvod trojuholníka

Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{4 0}{2} = 20

3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca

Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 20 (20 - 10) (20 - 13) (20 - 17) S = 4200 = 64, 81

4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.

Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 6 4 , 8 1}{1 0} = 12, 96 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 6 4 , 8 1}{1 3} = 9, 97 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 6 4 , 8 1}{1 7} = 7, 62

5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety

Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{1 3 ^{2} + 1 7 ^{2} - 1 0 ^{2}}{2 \cdot 1 3 \cdot 1 7}) = 35 ° 5 4^{'} 31 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{1 0 ^{2} + 1 7 ^{2} - 1 3 ^{2}}{2 \cdot 1 0 \cdot 1 7}) = 49 ° 4 0^{'} 47 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 35 ° 5 4^{'} 31 " - 49 ° 4 0^{'} 47 " = 94 ° 2 4^{'} 42 "

6. Polomer vpísanej kružnice

Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{6 4 , 8 1}{2 0} = 3, 24

7. Polomer opísanej kružnice

Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{1 0 \cdot 1 3 \cdot 1 7}{4 \cdot 3 , 2 4 \cdot 2 0} = 8, 53

8. Výpočet ťažníc

Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 3 ^{2} + 2 \cdot 1 7 ^{2} - 1 0 ^{2}}{2} = 14, 283 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 7 ^{2} + 2 \cdot 1 0 ^{2} - 1 3 ^{2}}{2} = 12, 339 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 0 ^{2} + 2 \cdot 1 3 ^{2} - 1 7 ^{2}}{2} = 7, 89

Vypočítať ďaľší trojuholník