Trojuholník 10 13 19
Tupouhlý rôznostranný trojuholník.
Strany: a = 10 b = 13 c = 19Obsah trojuholníka: S = 60,79547366143
Obvod trojuholníka: o = 42
Semiperimeter (poloobvod): s = 21
Uhol ∠ A = α = 29,49895673359° = 29°29'22″ = 0,5154690045 rad
Uhol ∠ B = β = 39,78876882825° = 39°47'16″ = 0,69444261623 rad
Uhol ∠ C = γ = 110,72327443816° = 110°43'22″ = 1,93224764463 rad
Výška trojuholníka: va = 12,15989473229
Výška trojuholníka: vb = 9,35330364022
Výška trojuholníka: vc = 6,39994459594
Ťažnica: ta = 15,49219333848
Ťažnica: tb = 13,7220422734
Ťažnica: tc = 6,65220673478
Polomer vpísanej kružnice: r = 2,89549874578
Polomer opísanej kružnice: R = 10,15771292909
Súradnice vrcholov: A[19; 0] B[0; 0] C[7,68442105263; 6,39994459594]
Ťažisko: T[8,89547368421; 2,13331486531]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[9,5; -3,59440611337]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[8; 2,89549874578]
Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 150,51104326641° = 150°30'38″ = 0,5154690045 rad
∠ B' = β' = 140,21223117175° = 140°12'44″ = 0,69444261623 rad
∠ C' = γ' = 69,27772556184° = 69°16'38″ = 1,93224764463 rad
Vypočítať ďaľší trojuholník
Ako sme vypočítali tento trojuholník?
Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.
a=10 b=13 c=19
1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán
o=a+b+c=10+13+19=42
2. Polovičný obvod trojuholníka
Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.s=2o=242=21
3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca
Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=21(21−10)(21−13)(21−19) S=3696=60,79
4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.
Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.S=2ava va=a2 S=102⋅ 60,79=12,16 vb=b2 S=132⋅ 60,79=9,35 vc=c2 S=192⋅ 60,79=6,4
5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety
Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 13⋅ 19132+192−102)=29°29′22" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 10⋅ 19102+192−132)=39°47′16" γ=180°−α−β=180°−29°29′22"−39°47′16"=110°43′22"
6. Polomer vpísanej kružnice
Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.S=rs r=sS=2160,79=2,89
7. Polomer opísanej kružnice
Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.R=4 rsabc=4⋅ 2,895⋅ 2110⋅ 13⋅ 19=10,16
8. Výpočet ťažníc
Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 132+2⋅ 192−102=15,492 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 192+2⋅ 102−132=13,72 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 102+2⋅ 132−192=6,652
Vypočítať ďaľší trojuholník