Trojuholník 10 13 20

Tupouhlý rôznostranný trojuholník.

Strany: a = 10 b = 13 c = 20

Obsah trojuholníka: S = 56,14765715783
Obvod trojuholníka: o = 43
Semiperimeter (poloobvod): s = 21,5

Uhol ∠ A = α = 25,58879901207° = 25°35'17″ = 0,44765946766 rad
Uhol ∠ B = β = 34,15772224785° = 34°9'26″ = 0,59661559956 rad
Uhol ∠ C = γ = 120,25547874008° = 120°15'17″ = 2,09988419814 rad

Výška trojuholníka: v_a = 11,22993143157
Výška trojuholníka: v_b = 8,6387934089
Výška trojuholníka: v_c = 5,61546571578

Ťažnica: t_a = 16,10990036936
Ťažnica: t_b = 14,41435353054
Ťažnica: t_c = 5,87436700622

Polomer vpísanej kružnice: r = 2,61114684455
Polomer opísanej kružnice: R = 11,57768422137

Súradnice vrcholov: A[20; 0] B[0; 0] C[8,275; 5,61546571578]
Ťažisko: T[9,425; 1,87215523859]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[10; -5,8332947423]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[8,5; 2,61114684455]

Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 154,41220098793° = 154°24'43″ = 0,44765946766 rad
∠ B' = β' = 145,84327775215° = 145°50'34″ = 0,59661559956 rad
∠ C' = γ' = 59,74552125992° = 59°44'43″ = 2,09988419814 rad

Vypočítať ďaľší trojuholník

Ako sme vypočítali tento trojuholník?

Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.

a = 10 b = 13 c = 20

1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán

o = a + b + c = 10 + 13 + 20 = 43

2. Polovičný obvod trojuholníka

Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{4 3}{2} = 21, 5

3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca

Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 21, 5 (21, 5 - 10) (21, 5 - 13) (21, 5 - 20) S = 3152, 44 = 56, 15

4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.

Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 5 6 , 1 5}{1 0} = 11, 23 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 5 6 , 1 5}{1 3} = 8, 64 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 5 6 , 1 5}{2 0} = 5, 61

5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety

Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{1 3 ^{2} + 2 0 ^{2} - 1 0 ^{2}}{2 \cdot 1 3 \cdot 2 0}) = 25 ° 3 5^{'} 17 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{1 0 ^{2} + 2 0 ^{2} - 1 3 ^{2}}{2 \cdot 1 0 \cdot 2 0}) = 34 ° 9^{'} 26 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 25 ° 3 5^{'} 17 " - 34 ° 9^{'} 26 " = 120 ° 1 5^{'} 17 "

6. Polomer vpísanej kružnice

Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{5 6 , 1 5}{2 1 , 5} = 2, 61

7. Polomer opísanej kružnice

Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{1 0 \cdot 1 3 \cdot 2 0}{4 \cdot 2 , 6 1 1 \cdot 2 1 , 5} = 11, 58

8. Výpočet ťažníc

Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 3 ^{2} + 2 \cdot 2 0 ^{2} - 1 0 ^{2}}{2} = 16, 109 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2 0 ^{2} + 2 \cdot 1 0 ^{2} - 1 3 ^{2}}{2} = 14, 414 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 0 ^{2} + 2 \cdot 1 3 ^{2} - 2 0 ^{2}}{2} = 5, 874

Vypočítať ďaľší trojuholník