Trojuholník 10 13 21
Tupouhlý rôznostranný trojuholník.
Strany: a = 10 b = 13 c = 21Obsah trojuholníka: S = 48,74442304278
Obvod trojuholníka: o = 44
Semiperimeter (poloobvod): s = 22
Uhol ∠ A = α = 20,92222396826° = 20°55'20″ = 0,36551619694 rad
Uhol ∠ B = β = 27,66604498993° = 27°39'38″ = 0,48327659233 rad
Uhol ∠ C = γ = 131,41773104181° = 131°25'2″ = 2,29436647609 rad
Výška trojuholníka: va = 9,74988460856
Výška trojuholníka: vb = 7,49991123735
Výška trojuholníka: vc = 4,64223076598
Ťažnica: ta = 16,73332005307
Ťažnica: tb = 15,10879449297
Ťažnica: tc = 4,92444289009
Polomer vpísanej kružnice: r = 2,21656468376
Polomer opísanej kružnice: R = 14,00216570989
Súradnice vrcholov: A[21; 0] B[0; 0] C[8,85771428571; 4,64223076598]
Ťažisko: T[9,95223809524; 1,54774358866]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[10,5; -9,26326346962]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[9; 2,21656468376]
Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 159,07877603174° = 159°4'40″ = 0,36551619694 rad
∠ B' = β' = 152,34395501007° = 152°20'22″ = 0,48327659233 rad
∠ C' = γ' = 48,58326895819° = 48°34'58″ = 2,29436647609 rad
Vypočítať ďaľší trojuholník
Ako sme vypočítali tento trojuholník?
Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.
a=10 b=13 c=21
1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán
o=a+b+c=10+13+21=44
2. Polovičný obvod trojuholníka
Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.s=2o=244=22
3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca
Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=22(22−10)(22−13)(22−21) S=2376=48,74
4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.
Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.S=2ava va=a2 S=102⋅ 48,74=9,75 vb=b2 S=132⋅ 48,74=7,5 vc=c2 S=212⋅ 48,74=4,64
5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety
Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 13⋅ 21132+212−102)=20°55′20" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 10⋅ 21102+212−132)=27°39′38" γ=180°−α−β=180°−20°55′20"−27°39′38"=131°25′2"
6. Polomer vpísanej kružnice
Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.S=rs r=sS=2248,74=2,22
7. Polomer opísanej kružnice
Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.R=4 rsabc=4⋅ 2,216⋅ 2210⋅ 13⋅ 21=14
8. Výpočet ťažníc
Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 132+2⋅ 212−102=16,733 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 212+2⋅ 102−132=15,108 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 102+2⋅ 132−212=4,924
Vypočítať ďaľší trojuholník