Trojuholník 10 13 21




Tupouhlý rôznostranný trojuholník.

Strany: a = 10   b = 13   c = 21

Obsah trojuholníka: S = 48,74442304278
Obvod trojuholníka: o = 44
Semiperimeter (poloobvod): s = 22

Uhol ∠ A = α = 20,92222396826° = 20°55'20″ = 0,36551619694 rad
Uhol ∠ B = β = 27,66604498993° = 27°39'38″ = 0,48327659233 rad
Uhol ∠ C = γ = 131,41773104181° = 131°25'2″ = 2,29436647609 rad

Výška trojuholníka: va = 9,74988460856
Výška trojuholníka: vb = 7,49991123735
Výška trojuholníka: vc = 4,64223076598

Ťažnica: ta = 16,73332005307
Ťažnica: tb = 15,10879449297
Ťažnica: tc = 4,92444289009

Polomer vpísanej kružnice: r = 2,21656468376
Polomer opísanej kružnice: R = 14,00216570989

Súradnice vrcholov: A[21; 0] B[0; 0] C[8,85771428571; 4,64223076598]
Ťažisko: T[9,95223809524; 1,54774358866]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[10,5; -9,26326346962]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[9; 2,21656468376]

Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 159,07877603174° = 159°4'40″ = 0,36551619694 rad
∠ B' = β' = 152,34395501007° = 152°20'22″ = 0,48327659233 rad
∠ C' = γ' = 48,58326895819° = 48°34'58″ = 2,29436647609 rad

Vypočítať ďaľší trojuholník

Ako sme vypočítali tento trojuholník?


Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.
a=10 b=13 c=21

1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán

o=a+b+c=10+13+21=44

2. Polovičný obvod trojuholníka

Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.

s=2o=244=22

3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca

Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.

S=s(sa)(sb)(sc) S=22(2210)(2213)(2221) S=2376=48,74

4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.

Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.

S=2ava  va=a2 S=102 48,74=9,75 vb=b2 S=132 48,74=7,5 vc=c2 S=212 48,74=4,64

5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety

Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.

a2=b2+c22bccosα  α=arccos(2bcb2+c2a2)=arccos(2 13 21132+212102)=20°5520"  b2=a2+c22accosβ β=arccos(2aca2+c2b2)=arccos(2 10 21102+212132)=27°3938" γ=180°αβ=180°20°5520"27°3938"=131°252"

6. Polomer vpísanej kružnice

Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.

S=rs r=sS=2248,74=2,22

7. Polomer opísanej kružnice

Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.

R=4 rsabc=4 2,216 2210 13 21=14

8. Výpočet ťažníc

Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.

ta=22b2+2c2a2=22 132+2 212102=16,733 tb=22c2+2a2b2=22 212+2 102132=15,108 tc=22a2+2b2c2=22 102+2 132212=4,924

Vypočítať ďaľší trojuholník