Trojuholník 10 14 15




Ostrouhlý rôznostranný trojuholník.

Strany: a = 10   b = 14   c = 15

Obsah trojuholníka: S = 67,71221665582
Obvod trojuholníka: o = 39
Semiperimeter (poloobvod): s = 19,5

Uhol ∠ A = α = 40,15765122086° = 40°9'23″ = 0,70108633542 rad
Uhol ∠ B = β = 64,53224398575° = 64°31'57″ = 1,12663035499 rad
Uhol ∠ C = γ = 75,31110479339° = 75°18'40″ = 1,31444257496 rad

Výška trojuholníka: va = 13,54224333116
Výška trojuholníka: vb = 9,67331666512
Výška trojuholníka: vc = 9,02882888744

Ťažnica: ta = 13,62198384719
Ťažnica: tb = 10,65436378763
Ťažnica: tc = 9,57986220303

Polomer vpísanej kružnice: r = 3,47224187979
Polomer opísanej kružnice: R = 7,75334072041

Súradnice vrcholov: A[15; 0] B[0; 0] C[4,3; 9,02882888744]
Ťažisko: T[6,43333333333; 3,00994296248]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[7,5; 1,9666042541]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[5,5; 3,47224187979]

Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 139,84334877914° = 139°50'37″ = 0,70108633542 rad
∠ B' = β' = 115,46875601425° = 115°28'3″ = 1,12663035499 rad
∠ C' = γ' = 104,68989520661° = 104°41'20″ = 1,31444257496 rad

Vypočítať ďaľší trojuholník

Ako sme vypočítali tento trojuholník?


Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.
a=10 b=14 c=15

1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán

o=a+b+c=10+14+15=39

2. Polovičný obvod trojuholníka

Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.

s=2o=239=19,5

3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca

Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.

S=s(sa)(sb)(sc) S=19,5(19,510)(19,514)(19,515) S=4584,94=67,71

4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.

Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.

S=2ava  va=a2 S=102 67,71=13,54 vb=b2 S=142 67,71=9,67 vc=c2 S=152 67,71=9,03

5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety

Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.

a2=b2+c22bccosα  α=arccos(2bcb2+c2a2)=arccos(2 14 15142+152102)=40°923"  b2=a2+c22accosβ β=arccos(2aca2+c2b2)=arccos(2 10 15102+152142)=64°3157" γ=180°αβ=180°40°923"64°3157"=75°1840"

6. Polomer vpísanej kružnice

Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.

S=rs r=sS=19,567,71=3,47

7. Polomer opísanej kružnice

Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.

R=4 rsabc=4 3,472 19,510 14 15=7,75

8. Výpočet ťažníc

Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.

ta=22b2+2c2a2=22 142+2 152102=13,62 tb=22c2+2a2b2=22 152+2 102142=10,654 tc=22a2+2b2c2=22 102+2 142152=9,579

Vypočítať ďaľší trojuholník