Trojuholník 10 15 18

Ostrouhlý rôznostranný trojuholník.

Strany: a = 10 b = 15 c = 18

Obsah trojuholníka: S = 754,9995833322
Obvod trojuholníka: o = 43
Semiperimeter (poloobvod): s = 21,5

Uhol ∠ A = α = 33,74987759158° = 33°44'56″ = 0,58990272582 rad
Uhol ∠ B = β = 56,44222103696° = 56°26'32″ = 0,98551024081 rad
Uhol ∠ C = γ = 89,80990137146° = 89°48'32″ = 1,56774629873 rad

Výška trojuholníka: v_a = 154,9999166664
Výška trojuholníka: v_b = 10.9999444443
Výška trojuholníka: v_c = 8,33332870369

Ťažnica: t_a = 15,79655689989
Ťažnica: t_b = 12,48799839743
Ťažnica: t_c = 9,02877350426

Polomer vpísanej kružnice: r = 3,48883527131
Polomer opísanej kružnice: R = 99,0000500004

Súradnice vrcholov: A[18; 0] B[0; 0] C[5,52877777778; 8,33332870369]
Ťažisko: T[7,84325925926; 2,77877623456]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[9; 0,03300001667]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[6,5; 3,48883527131]

Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 146,25112240842° = 146°15'4″ = 0,58990272582 rad
∠ B' = β' = 123,55877896304° = 123°33'28″ = 0,98551024081 rad
∠ C' = γ' = 90,19109862854° = 90°11'28″ = 1,56774629873 rad

Vypočítať ďaľší trojuholník

Ako sme vypočítali tento trojuholník?

Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.

a = 10 b = 15 c = 18

1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán

o = a + b + c = 10 + 15 + 18 = 43

2. Polovičný obvod trojuholníka

Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{4 3}{2} = 21, 5

3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca

Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 21, 5 (21, 5 - 10) (21, 5 - 15) (21, 5 - 18) S = 5624, 94 = 75

4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.

Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 7 5}{1 0} = 15 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 7 5}{1 5} = 10 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 7 5}{1 8} = 8, 33

5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety

Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{1 5 ^{2} + 1 8 ^{2} - 1 0 ^{2}}{2 \cdot 1 5 \cdot 1 8}) = 33 ° 4 4^{'} 56 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{1 0 ^{2} + 1 8 ^{2} - 1 5 ^{2}}{2 \cdot 1 0 \cdot 1 8}) = 56 ° 2 6^{'} 32 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 33 ° 4 4^{'} 56 " - 56 ° 2 6^{'} 32 " = 89 ° 4 8^{'} 32 "

6. Polomer vpísanej kružnice

Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{7 5}{2 1 , 5} = 3, 49

7. Polomer opísanej kružnice

Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{1 0 \cdot 1 5 \cdot 1 8}{4 \cdot 3 , 4 8 8 \cdot 2 1 , 5} = 9

8. Výpočet ťažníc

Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 5 ^{2} + 2 \cdot 1 8 ^{2} - 1 0 ^{2}}{2} = 15, 796 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 8 ^{2} + 2 \cdot 1 0 ^{2} - 1 5 ^{2}}{2} = 12, 48 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 0 ^{2} + 2 \cdot 1 5 ^{2} - 1 8 ^{2}}{2} = 9, 028

Vypočítať ďaľší trojuholník