Trojuholník 10 15 19
Tupouhlý rôznostranný trojuholník.
Strany: a = 10 b = 15 c = 19Obsah trojuholníka: S = 74,45880418759
Obvod trojuholníka: o = 44
Semiperimeter (poloobvod): s = 22
Uhol ∠ A = α = 31,50109414399° = 31°30'3″ = 0,55497951456 rad
Uhol ∠ B = β = 51,60769559808° = 51°36'25″ = 0,90107112988 rad
Uhol ∠ C = γ = 96,89221025793° = 96°53'32″ = 1,69110862092 rad
Výška trojuholníka: va = 14,89216083752
Výška trojuholníka: vb = 9,92877389168
Výška trojuholníka: vc = 7,83876886185
Ťažnica: ta = 16,37107055437
Ťažnica: tb = 13.22003787824
Ťažnica: tc = 8,5
Polomer vpísanej kružnice: r = 3,38444564489
Polomer opísanej kružnice: R = 9,56991476978
Súradnice vrcholov: A[19; 0] B[0; 0] C[6,21105263158; 7,83876886185]
Ťažisko: T[8,40435087719; 2,61325628728]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[9,5; -1,14882977237]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[7; 3,38444564489]
Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 148,49990585601° = 148°29'57″ = 0,55497951456 rad
∠ B' = β' = 128,39330440192° = 128°23'35″ = 0,90107112988 rad
∠ C' = γ' = 83,10878974207° = 83°6'28″ = 1,69110862092 rad
Vypočítať ďaľší trojuholník
Ako sme vypočítali tento trojuholník?
Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.
a=10 b=15 c=19
1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán
o=a+b+c=10+15+19=44
2. Polovičný obvod trojuholníka
Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.s=2o=244=22
3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca
Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=22(22−10)(22−15)(22−19) S=5544=74,46
4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.
Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.S=2ava va=a2 S=102⋅ 74,46=14,89 vb=b2 S=152⋅ 74,46=9,93 vc=c2 S=192⋅ 74,46=7,84
5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety
Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 15⋅ 19152+192−102)=31°30′3" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 10⋅ 19102+192−152)=51°36′25" γ=180°−α−β=180°−31°30′3"−51°36′25"=96°53′32"
6. Polomer vpísanej kružnice
Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.S=rs r=sS=2274,46=3,38
7. Polomer opísanej kružnice
Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.R=4 rsabc=4⋅ 3,384⋅ 2210⋅ 15⋅ 19=9,57
8. Výpočet ťažníc
Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 152+2⋅ 192−102=16,371 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 192+2⋅ 102−152=13,2 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 102+2⋅ 152−192=8,5
Vypočítať ďaľší trojuholník