Trojuholník 10 15 24

Tupouhlý rôznostranný trojuholník.

Strany: a = 10 b = 15 c = 24

Obsah trojuholníka: S = 41,07884310801
Obvod trojuholníka: o = 49
Semiperimeter (poloobvod): s = 24,5

Uhol ∠ A = α = 13,19219161626° = 13°11'31″ = 0,23302423717 rad
Uhol ∠ B = β = 20,01882999855° = 20°1'6″ = 0,34993852454 rad
Uhol ∠ C = γ = 146,79897838519° = 146°47'23″ = 2,56219650365 rad

Výška trojuholníka: v_a = 8,2165686216
Výška trojuholníka: v_b = 5,4777124144
Výška trojuholníka: v_c = 3,423320259

Ťažnica: t_a = 19,37878223751
Ťažnica: t_b = 16,78554103316
Ťažnica: t_c = 4,30111626335

Polomer vpísanej kružnice: r = 1,67766706563
Polomer opísanej kružnice: R = 21,90993080319

Súradnice vrcholov: A[24; 0] B[0; 0] C[9,39658333333; 3,423320259]
Ťažisko: T[11,13219444444; 1,141106753]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[12; -18,331078772]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[9,5; 1,67766706563]

Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 166,80880838374° = 166°48'29″ = 0,23302423717 rad
∠ B' = β' = 159,98217000145° = 159°58'54″ = 0,34993852454 rad
∠ C' = γ' = 33,21102161481° = 33°12'37″ = 2,56219650365 rad

Vypočítať ďaľší trojuholník

Ako sme vypočítali tento trojuholník?

Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.

a = 10 b = 15 c = 24

1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán

o = a + b + c = 10 + 15 + 24 = 49

2. Polovičný obvod trojuholníka

Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{4 9}{2} = 24, 5

3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca

Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 24, 5 (24, 5 - 10) (24, 5 - 15) (24, 5 - 24) S = 1687, 44 = 41, 08

4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.

Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 4 1 , 0 8}{1 0} = 8, 22 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 4 1 , 0 8}{1 5} = 5, 48 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 4 1 , 0 8}{2 4} = 3, 42

5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety

Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{1 5 ^{2} + 2 4 ^{2} - 1 0 ^{2}}{2 \cdot 1 5 \cdot 2 4}) = 13 ° 1 1^{'} 31 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{1 0 ^{2} + 2 4 ^{2} - 1 5 ^{2}}{2 \cdot 1 0 \cdot 2 4}) = 20 ° 1^{'} 6 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 13 ° 1 1^{'} 31 " - 20 ° 1^{'} 6 " = 146 ° 4 7^{'} 23 "

6. Polomer vpísanej kružnice

Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{4 1 , 0 8}{2 4 , 5} = 1, 68

7. Polomer opísanej kružnice

Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{1 0 \cdot 1 5 \cdot 2 4}{4 \cdot 1 , 6 7 7 \cdot 2 4 , 5} = 21, 91

8. Výpočet ťažníc

Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 5 ^{2} + 2 \cdot 2 4 ^{2} - 1 0 ^{2}}{2} = 19, 378 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2 4 ^{2} + 2 \cdot 1 0 ^{2} - 1 5 ^{2}}{2} = 16, 785 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 0 ^{2} + 2 \cdot 1 5 ^{2} - 2 4 ^{2}}{2} = 4, 301

Vypočítať ďaľší trojuholník