Trojuholník 10 16 20

Tupouhlý rôznostranný trojuholník.

Strany: a = 10 b = 16 c = 20

Obsah trojuholníka: S = 79,24401413426
Obvod trojuholníka: o = 46
Semiperimeter (poloobvod): s = 23

Uhol ∠ A = α = 29,68662952314° = 29°41'11″ = 0,51881235945 rad
Uhol ∠ B = β = 52,41104970351° = 52°24'38″ = 0,91547357359 rad
Uhol ∠ C = γ = 97,90332077335° = 97°54'12″ = 1,70987333232 rad

Výška trojuholníka: v_a = 15,84880282685
Výška trojuholníka: v_b = 9,90550176678
Výška trojuholníka: v_c = 7,92440141343

Ťažnica: t_a = 17,40768951855
Ťažnica: t_b = 13,6388181697
Ťažnica: t_c = 8,83217608663

Polomer vpísanej kružnice: r = 3,44552235366
Polomer opísanej kružnice: R = 10,09658931477

Súradnice vrcholov: A[20; 0] B[0; 0] C[6,1; 7,92440141343]
Ťažisko: T[8,7; 2,64113380448]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[10; -1,38881853078]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[7; 3,44552235366]

Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 150,31437047686° = 150°18'49″ = 0,51881235945 rad
∠ B' = β' = 127,59895029649° = 127°35'22″ = 0,91547357359 rad
∠ C' = γ' = 82,09767922665° = 82°5'48″ = 1,70987333232 rad

Vypočítať ďaľší trojuholník

Ako sme vypočítali tento trojuholník?

Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.

a = 10 b = 16 c = 20

1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán

o = a + b + c = 10 + 16 + 20 = 46

2. Polovičný obvod trojuholníka

Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{4 6}{2} = 23

3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca

Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 23 (23 - 10) (23 - 16) (23 - 20) S = 6279 = 79, 24

4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.

Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 7 9 , 2 4}{1 0} = 15, 85 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 7 9 , 2 4}{1 6} = 9, 91 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 7 9 , 2 4}{2 0} = 7, 92

5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety

Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{1 6 ^{2} + 2 0 ^{2} - 1 0 ^{2}}{2 \cdot 1 6 \cdot 2 0}) = 29 ° 4 1^{'} 11 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{1 0 ^{2} + 2 0 ^{2} - 1 6 ^{2}}{2 \cdot 1 0 \cdot 2 0}) = 52 ° 2 4^{'} 38 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 29 ° 4 1^{'} 11 " - 52 ° 2 4^{'} 38 " = 97 ° 5 4^{'} 12 "

6. Polomer vpísanej kružnice

Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{7 9 , 2 4}{2 3} = 3, 45

7. Polomer opísanej kružnice

Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{1 0 \cdot 1 6 \cdot 2 0}{4 \cdot 3 , 4 4 5 \cdot 2 3} = 10, 1

8. Výpočet ťažníc

Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 6 ^{2} + 2 \cdot 2 0 ^{2} - 1 0 ^{2}}{2} = 17, 407 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2 0 ^{2} + 2 \cdot 1 0 ^{2} - 1 6 ^{2}}{2} = 13, 638 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 0 ^{2} + 2 \cdot 1 6 ^{2} - 2 0 ^{2}}{2} = 8, 832

Vypočítať ďaľší trojuholník