Trojuholník 10 16 21
Tupouhlý rôznostranný trojuholník.
Strany: a = 10 b = 16 c = 21Obsah trojuholníka: S = 77,12661142545
Obvod trojuholníka: o = 47
Semiperimeter (poloobvod): s = 23,5
Uhol ∠ A = α = 27,32880163439° = 27°19'41″ = 0,47769638632 rad
Uhol ∠ B = β = 47,26878899574° = 47°16'4″ = 0,82549803102 rad
Uhol ∠ C = γ = 105,40440936987° = 105°24'15″ = 1,84396484801 rad
Výška trojuholníka: va = 15,42552228509
Výška trojuholníka: vb = 9,64107642818
Výška trojuholníka: vc = 7,34553442147
Ťažnica: ta = 17,98661057486
Ťažnica: tb = 14,37701078632
Ťažnica: tc = 8,23110388166
Polomer vpísanej kružnice: r = 3,28219623087
Polomer opísanej kružnice: R = 10,89112526985
Súradnice vrcholov: A[21; 0] B[0; 0] C[6,78657142857; 7,34553442147]
Ťažisko: T[9,26219047619; 2,44884480716]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[10,5; -2,8932988998]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[7,5; 3,28219623087]
Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 152,67219836561° = 152°40'19″ = 0,47769638632 rad
∠ B' = β' = 132,73221100426° = 132°43'56″ = 0,82549803102 rad
∠ C' = γ' = 74,59659063013° = 74°35'45″ = 1,84396484801 rad
Vypočítať ďaľší trojuholník
Ako sme vypočítali tento trojuholník?
Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.
a=10 b=16 c=21
1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán
o=a+b+c=10+16+21=47
2. Polovičný obvod trojuholníka
Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.s=2o=247=23,5
3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca
Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=23,5(23,5−10)(23,5−16)(23,5−21) S=5948,44=77,13
4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.
Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.S=2ava va=a2 S=102⋅ 77,13=15,43 vb=b2 S=162⋅ 77,13=9,64 vc=c2 S=212⋅ 77,13=7,35
5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety
Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 16⋅ 21162+212−102)=27°19′41" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 10⋅ 21102+212−162)=47°16′4" γ=180°−α−β=180°−27°19′41"−47°16′4"=105°24′15"
6. Polomer vpísanej kružnice
Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.S=rs r=sS=23,577,13=3,28
7. Polomer opísanej kružnice
Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.R=4 rsabc=4⋅ 3,282⋅ 23,510⋅ 16⋅ 21=10,89
8. Výpočet ťažníc
Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 162+2⋅ 212−102=17,986 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 212+2⋅ 102−162=14,37 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 102+2⋅ 162−212=8,231
Vypočítať ďaľší trojuholník