Trojuholník 10 16 22
Tupouhlý rôznostranný trojuholník.
Strany: a = 10 b = 16 c = 22Obsah trojuholníka: S = 73,32112111193
Obvod trojuholníka: o = 48
Semiperimeter (poloobvod): s = 24
Uhol ∠ A = α = 24,62199773287° = 24°37'12″ = 0,43296996662 rad
Uhol ∠ B = β = 41,80218441931° = 41°48'7″ = 0,73295798146 rad
Uhol ∠ C = γ = 113,57881784782° = 113°34'41″ = 1,98223131729 rad
Výška trojuholníka: va = 14,66442422239
Výška trojuholníka: vb = 9,16551513899
Výška trojuholníka: vc = 6,66655646472
Ťažnica: ta = 18,5744175621
Ťažnica: tb = 15.10996688705
Ťažnica: tc = 7,55498344353
Polomer vpísanej kružnice: r = 3,05550504633
Polomer opísanej kružnice: R = 12,0021983963
Súradnice vrcholov: A[22; 0] B[0; 0] C[7,45545454545; 6,66655646472]
Ťažisko: T[9,81881818182; 2,22218548824]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[11; -4,80107935852]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[8; 3,05550504633]
Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 155,38800226713° = 155°22'48″ = 0,43296996662 rad
∠ B' = β' = 138,19881558069° = 138°11'53″ = 0,73295798146 rad
∠ C' = γ' = 66,42218215218° = 66°25'19″ = 1,98223131729 rad
Vypočítať ďaľší trojuholník
Ako sme vypočítali tento trojuholník?
Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.
a=10 b=16 c=22
1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán
o=a+b+c=10+16+22=48
2. Polovičný obvod trojuholníka
Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.s=2o=248=24
3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca
Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=24(24−10)(24−16)(24−22) S=5376=73,32
4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.
Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.S=2ava va=a2 S=102⋅ 73,32=14,66 vb=b2 S=162⋅ 73,32=9,17 vc=c2 S=222⋅ 73,32=6,67
5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety
Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 16⋅ 22162+222−102)=24°37′12" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 10⋅ 22102+222−162)=41°48′7" γ=180°−α−β=180°−24°37′12"−41°48′7"=113°34′41"
6. Polomer vpísanej kružnice
Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.S=rs r=sS=2473,32=3,06
7. Polomer opísanej kružnice
Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.R=4 rsabc=4⋅ 3,055⋅ 2410⋅ 16⋅ 22=12
8. Výpočet ťažníc
Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 162+2⋅ 222−102=18,574 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 222+2⋅ 102−162=15,1 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 102+2⋅ 162−222=7,55
Vypočítať ďaľší trojuholník