Trojuholník 10 17 18

Ostrouhlý rôznostranný trojuholník.

Strany: a = 10 b = 17 c = 18

Obsah trojuholníka: S = 83,43222329798
Obvod trojuholníka: o = 45
Semiperimeter (poloobvod): s = 22,5

Uhol ∠ A = α = 33,04657624726° = 33°2'45″ = 0,5776757359 rad
Uhol ∠ B = β = 67,9765687163° = 67°58'32″ = 1,18663995523 rad
Uhol ∠ C = γ = 78,97985503645° = 78°58'43″ = 1,37884357423 rad

Výška trojuholníka: v_a = 16,6866446596
Výška trojuholníka: v_b = 9,81655568212
Výška trojuholníka: v_c = 9,27702481089

Ťažnica: t_a = 16,77879617356
Ťažnica: t_b = 11,82215904175
Ťažnica: t_c = 10,65436378763

Polomer vpísanej kružnice: r = 3,70880992435
Polomer opísanej kružnice: R = 9,16991181295

Súradnice vrcholov: A[18; 0] B[0; 0] C[3,75; 9,27702481089]
Ťažisko: T[7,25; 3,0990082703]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[9; 1,75329196424]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[5,5; 3,70880992435]

Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 146,95442375274° = 146°57'15″ = 0,5776757359 rad
∠ B' = β' = 112,0244312837° = 112°1'28″ = 1,18663995523 rad
∠ C' = γ' = 101,02114496355° = 101°1'17″ = 1,37884357423 rad

Vypočítať ďaľší trojuholník

Ako sme vypočítali tento trojuholník?

Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.

a = 10 b = 17 c = 18

1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán

o = a + b + c = 10 + 17 + 18 = 45

2. Polovičný obvod trojuholníka

Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{4 5}{2} = 22, 5

3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca

Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 22, 5 (22, 5 - 10) (22, 5 - 17) (22, 5 - 18) S = 6960, 94 = 83, 43

4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.

Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 8 3 , 4 3}{1 0} = 16, 69 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 8 3 , 4 3}{1 7} = 9, 82 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 8 3 , 4 3}{1 8} = 9, 27

5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety

Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{1 7 ^{2} + 1 8 ^{2} - 1 0 ^{2}}{2 \cdot 1 7 \cdot 1 8}) = 33 ° 2^{'} 45 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{1 0 ^{2} + 1 8 ^{2} - 1 7 ^{2}}{2 \cdot 1 0 \cdot 1 8}) = 67 ° 5 8^{'} 32 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 33 ° 2^{'} 45 " - 67 ° 5 8^{'} 32 " = 78 ° 5 8^{'} 43 "

6. Polomer vpísanej kružnice

Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{8 3 , 4 3}{2 2 , 5} = 3, 71

7. Polomer opísanej kružnice

Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{1 0 \cdot 1 7 \cdot 1 8}{4 \cdot 3 , 7 0 8 \cdot 2 2 , 5} = 9, 17

8. Výpočet ťažníc

Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 7 ^{2} + 2 \cdot 1 8 ^{2} - 1 0 ^{2}}{2} = 16, 778 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 8 ^{2} + 2 \cdot 1 0 ^{2} - 1 7 ^{2}}{2} = 11, 822 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 0 ^{2} + 2 \cdot 1 7 ^{2} - 1 8 ^{2}}{2} = 10, 654

Vypočítať ďaľší trojuholník