Trojuholník 10 17 20

Tupouhlý rôznostranný trojuholník.

Strany: a = 10 b = 17 c = 20

Obsah trojuholníka: S = 84,9565503059
Obvod trojuholníka: o = 47
Semiperimeter (poloobvod): s = 23,5

Uhol ∠ A = α = 29,98326844873° = 29°58'58″ = 0,52332965629 rad
Uhol ∠ B = β = 58,16333049964° = 58°9'48″ = 1,0155141176 rad
Uhol ∠ C = γ = 91,85440105163° = 91°51'14″ = 1,60331549147 rad

Výška trojuholníka: v_a = 16,99111006118
Výška trojuholníka: v_b = 9,99547650658
Výška trojuholníka: v_c = 8,49655503059

Ťažnica: t_a = 17,87545629317
Ťažnica: t_b = 13,3322291626
Ťažnica: t_c = 9,72111110476

Polomer vpísanej kružnice: r = 3,61551277897
Polomer opísanej kružnice: R = 10,00552376761

Súradnice vrcholov: A[20; 0] B[0; 0] C[5,275; 8,49655503059]
Ťažisko: T[8,425; 2,8321850102]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[10; -0,3243698866]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[6,5; 3,61551277897]

Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 150,01773155127° = 150°1'2″ = 0,52332965629 rad
∠ B' = β' = 121,83766950036° = 121°50'12″ = 1,0155141176 rad
∠ C' = γ' = 88,14659894837° = 88°8'46″ = 1,60331549147 rad

Vypočítať ďaľší trojuholník

Ako sme vypočítali tento trojuholník?

Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.

a = 10 b = 17 c = 20

1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán

o = a + b + c = 10 + 17 + 20 = 47

2. Polovičný obvod trojuholníka

Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{4 7}{2} = 23, 5

3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca

Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 23, 5 (23, 5 - 10) (23, 5 - 17) (23, 5 - 20) S = 7217, 44 = 84, 96

4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.

Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 8 4 , 9 6}{1 0} = 16, 99 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 8 4 , 9 6}{1 7} = 9, 99 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 8 4 , 9 6}{2 0} = 8, 5

5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety

Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{1 7 ^{2} + 2 0 ^{2} - 1 0 ^{2}}{2 \cdot 1 7 \cdot 2 0}) = 29 ° 5 8^{'} 58 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{1 0 ^{2} + 2 0 ^{2} - 1 7 ^{2}}{2 \cdot 1 0 \cdot 2 0}) = 58 ° 9^{'} 48 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 29 ° 5 8^{'} 58 " - 58 ° 9^{'} 48 " = 91 ° 5 1^{'} 14 "

6. Polomer vpísanej kružnice

Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{8 4 , 9 6}{2 3 , 5} = 3, 62

7. Polomer opísanej kružnice

Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{1 0 \cdot 1 7 \cdot 2 0}{4 \cdot 3 , 6 1 5 \cdot 2 3 , 5} = 10, 01

8. Výpočet ťažníc

Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 7 ^{2} + 2 \cdot 2 0 ^{2} - 1 0 ^{2}}{2} = 17, 875 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2 0 ^{2} + 2 \cdot 1 0 ^{2} - 1 7 ^{2}}{2} = 13, 332 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 0 ^{2} + 2 \cdot 1 7 ^{2} - 2 0 ^{2}}{2} = 9, 721

Vypočítať ďaľší trojuholník