Trojuholník 10 18 25

Tupouhlý rôznostranný trojuholník.

Strany: a = 10 b = 18 c = 25

Obsah trojuholníka: S = 74,66655040832
Obvod trojuholníka: o = 53
Semiperimeter (poloobvod): s = 26,5

Uhol ∠ A = α = 19,38109001271° = 19°22'51″ = 0,33882605192 rad
Uhol ∠ B = β = 36,67884850469° = 36°40'43″ = 0,64401603287 rad
Uhol ∠ C = γ = 123,9410614826° = 123°56'26″ = 2,16331718057 rad

Výška trojuholníka: v_a = 14,93331008166
Výška trojuholníka: v_b = 8,29661671204
Výška trojuholníka: v_c = 5,97332403267

Ťažnica: t_a = 21,20114150471
Ťažnica: t_b = 16,77879617356
Ťažnica: t_c = 7,46765922615

Polomer vpísanej kružnice: r = 2,81875661918
Polomer opísanej kružnice: R = 15,06771988867

Súradnice vrcholov: A[25; 0] B[0; 0] C[8,02; 5,97332403267]
Ťažisko: T[11,00766666667; 1,99110801089]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[12,5; -8,41325193784]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[8,5; 2,81875661918]

Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 160,61990998729° = 160°37'9″ = 0,33882605192 rad
∠ B' = β' = 143,32215149531° = 143°19'17″ = 0,64401603287 rad
∠ C' = γ' = 56,0599385174° = 56°3'34″ = 2,16331718057 rad

Vypočítať ďaľší trojuholník

Ako sme vypočítali tento trojuholník?

Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.

a = 10 b = 18 c = 25

1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán

o = a + b + c = 10 + 18 + 25 = 53

2. Polovičný obvod trojuholníka

Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{5 3}{2} = 26, 5

3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca

Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 26, 5 (26, 5 - 10) (26, 5 - 18) (26, 5 - 25) S = 5574, 94 = 74, 67

4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.

Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 7 4 , 6 7}{1 0} = 14, 93 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 7 4 , 6 7}{1 8} = 8, 3 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 7 4 , 6 7}{2 5} = 5, 97

5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety

Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{1 8 ^{2} + 2 5 ^{2} - 1 0 ^{2}}{2 \cdot 1 8 \cdot 2 5}) = 19 ° 2 2^{'} 51 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{1 0 ^{2} + 2 5 ^{2} - 1 8 ^{2}}{2 \cdot 1 0 \cdot 2 5}) = 36 ° 4 0^{'} 43 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 19 ° 2 2^{'} 51 " - 36 ° 4 0^{'} 43 " = 123 ° 5 6^{'} 26 "

6. Polomer vpísanej kružnice

Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{7 4 , 6 7}{2 6 , 5} = 2, 82

7. Polomer opísanej kružnice

Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{1 0 \cdot 1 8 \cdot 2 5}{4 \cdot 2 , 8 1 8 \cdot 2 6 , 5} = 15, 07

8. Výpočet ťažníc

Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 8 ^{2} + 2 \cdot 2 5 ^{2} - 1 0 ^{2}}{2} = 21, 201 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2 5 ^{2} + 2 \cdot 1 0 ^{2} - 1 8 ^{2}}{2} = 16, 778 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 0 ^{2} + 2 \cdot 1 8 ^{2} - 2 5 ^{2}}{2} = 7, 467

Vypočítať ďaľší trojuholník