Trojuholník 10 19 24
Tupouhlý rôznostranný trojuholník.
Strany: a = 10 b = 19 c = 24Obsah trojuholníka: S = 90,54552235074
Obvod trojuholníka: o = 53
Semiperimeter (poloobvod): s = 26,5
Uhol ∠ A = α = 23,39987690434° = 23°23'56″ = 0,40883855607 rad
Uhol ∠ B = β = 48,98655003343° = 48°59'8″ = 0,85549582666 rad
Uhol ∠ C = γ = 107,61657306223° = 107°36'57″ = 1,87882488263 rad
Výška trojuholníka: va = 18,10990447015
Výška trojuholníka: vb = 9,53110761587
Výška trojuholníka: vc = 7,54554352923
Ťažnica: ta = 21,05994396887
Ťažnica: tb = 15,74400762387
Ťažnica: tc = 9,30105376189
Polomer vpísanej kružnice: r = 3,41768008871
Polomer opísanej kružnice: R = 12,59903935718
Súradnice vrcholov: A[24; 0] B[0; 0] C[6,56325; 7,54554352923]
Ťažisko: T[10,18875; 2,51551450974]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[12; -3,81102506862]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[7,5; 3,41768008871]
Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 156,60112309566° = 156°36'4″ = 0,40883855607 rad
∠ B' = β' = 131,01444996657° = 131°52″ = 0,85549582666 rad
∠ C' = γ' = 72,38442693777° = 72°23'3″ = 1,87882488263 rad
Vypočítať ďaľší trojuholník
Ako sme vypočítali tento trojuholník?
Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.
a=10 b=19 c=24
1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán
o=a+b+c=10+19+24=53
2. Polovičný obvod trojuholníka
Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.s=2o=253=26,5
3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca
Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=26,5(26,5−10)(26,5−19)(26,5−24) S=8198,44=90,55
4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.
Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.S=2ava va=a2 S=102⋅ 90,55=18,11 vb=b2 S=192⋅ 90,55=9,53 vc=c2 S=242⋅ 90,55=7,55
5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety
Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 19⋅ 24192+242−102)=23°23′56" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 10⋅ 24102+242−192)=48°59′8" γ=180°−α−β=180°−23°23′56"−48°59′8"=107°36′57"
6. Polomer vpísanej kružnice
Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.S=rs r=sS=26,590,55=3,42
7. Polomer opísanej kružnice
Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.R=4 rsabc=4⋅ 3,417⋅ 26,510⋅ 19⋅ 24=12,59
8. Výpočet ťažníc
Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 192+2⋅ 242−102=21,059 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 242+2⋅ 102−192=15,74 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 102+2⋅ 192−242=9,301
Vypočítať ďaľší trojuholník