Trojuholník 10 19 24




Tupouhlý rôznostranný trojuholník.

Strany: a = 10   b = 19   c = 24

Obsah trojuholníka: S = 90,54552235074
Obvod trojuholníka: o = 53
Semiperimeter (poloobvod): s = 26,5

Uhol ∠ A = α = 23,39987690434° = 23°23'56″ = 0,40883855607 rad
Uhol ∠ B = β = 48,98655003343° = 48°59'8″ = 0,85549582666 rad
Uhol ∠ C = γ = 107,61657306223° = 107°36'57″ = 1,87882488263 rad

Výška trojuholníka: va = 18,10990447015
Výška trojuholníka: vb = 9,53110761587
Výška trojuholníka: vc = 7,54554352923

Ťažnica: ta = 21,05994396887
Ťažnica: tb = 15,74400762387
Ťažnica: tc = 9,30105376189

Polomer vpísanej kružnice: r = 3,41768008871
Polomer opísanej kružnice: R = 12,59903935718

Súradnice vrcholov: A[24; 0] B[0; 0] C[6,56325; 7,54554352923]
Ťažisko: T[10,18875; 2,51551450974]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[12; -3,81102506862]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[7,5; 3,41768008871]

Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 156,60112309566° = 156°36'4″ = 0,40883855607 rad
∠ B' = β' = 131,01444996657° = 131°52″ = 0,85549582666 rad
∠ C' = γ' = 72,38442693777° = 72°23'3″ = 1,87882488263 rad

Vypočítať ďaľší trojuholník

Ako sme vypočítali tento trojuholník?


Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.
a=10 b=19 c=24

1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán

o=a+b+c=10+19+24=53

2. Polovičný obvod trojuholníka

Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.

s=2o=253=26,5

3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca

Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.

S=s(sa)(sb)(sc) S=26,5(26,510)(26,519)(26,524) S=8198,44=90,55

4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.

Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.

S=2ava  va=a2 S=102 90,55=18,11 vb=b2 S=192 90,55=9,53 vc=c2 S=242 90,55=7,55

5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety

Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.

a2=b2+c22bccosα  α=arccos(2bcb2+c2a2)=arccos(2 19 24192+242102)=23°2356"  b2=a2+c22accosβ β=arccos(2aca2+c2b2)=arccos(2 10 24102+242192)=48°598" γ=180°αβ=180°23°2356"48°598"=107°3657"

6. Polomer vpísanej kružnice

Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.

S=rs r=sS=26,590,55=3,42

7. Polomer opísanej kružnice

Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.

R=4 rsabc=4 3,417 26,510 19 24=12,59

8. Výpočet ťažníc

Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.

ta=22b2+2c2a2=22 192+2 242102=21,059 tb=22c2+2a2b2=22 242+2 102192=15,74 tc=22a2+2b2c2=22 102+2 192242=9,301

Vypočítať ďaľší trojuholník